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Dm de maths sur nombre complexes

Posté par
imanlakhrissi 02-01-19 à 19:17

Bonjour ou Bonsoir en fonction de l'heure à laquelle vous me lisez.
Je vous explique mon problème mon professeur nous a donné un dm avec beaucoup d'exercices à rendre pour la rentrée et je m'y suis attaqué dès le début des vacances mais je suis restée bloquée sur 2 exercices. Malgré tout le temps dont j'ai disposé je n'ai pas réussi à les faire donc votre aide serait la bienvenue.
Voici le premier énoncé le deuxieme sera sur un autre post afin de respecter les règles.
Exercice1: Soit P(z) un polynôme à coefficients tous réels. Montre que si z1 est une racine de P alors le conjugué de z1 est aussi une racine de P.
(Alors pour cette exercice j'ai d'abord écrit: az^n + bz^n-1 +...+yz+ nombre réel et j'ai ensuite remplace le z par x+iy puis par x-iy mais ça ne m'a pas du tout aidé!)
Merci d'avance de votre aide!

Posté par
gerrebare : Dm de maths sur nombre complexes 02-01-19 à 19:20

Bonsoir,
Si P(z1)=0 alors Conjuguée de P(z1)=0.  Propriétés des conjugués.....

Posté par
imanlakhrissire : Dm de maths sur nombre complexes 02-01-19 à 19:24

Merci de ton aide mais je ne vois pas pourquoi ce serai la réponse...
L'énoncé ne dit pas que P(z1) =0...

Posté par
gerrebare : Dm de maths sur nombre complexes 02-01-19 à 19:42

On suppose que z1 est solution de P(z)=0 pour en déduire que P(z1 barre)=0....

Posté par
imanlakhrissire : Dm de maths sur nombre complexes 02-01-19 à 19:44

Etre une racine de P signifie etre une solution de P donc si  j'ai bien compris?

Posté par
imanlakhrissire : Dm de maths sur nombre complexes 02-01-19 à 19:46

Ah mais oui je suis bête je viens de chercher et j'ai trouvé cela:
En mathématiques, une racine d'un polynôme P(X) est une valeur α telle que P = 0. C'est donc une solution de l'équation polynomiale P(x) = 0
J'avais complètement oublié ceci. Dans ma tête je pensais aux racines carrées.
Merci infiniment pour ton aide!!

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 10-01-19 à 19:18

bonjour
comment avez vous trouvé?
je ne vois pas

Posté par
Yzzre : Dm de maths sur nombre complexes 10-01-19 à 19:24

Salut,

Si P(z) = 0 , alors \bar{P(z)} = \bar{0} et tu peux montrer facilement que \bar{P(z)} = P(\bar{z})

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 10-01-19 à 20:17

je ne comprends pas ce que signifie le conjugué de  P(z)
je connais juste le conjugué d'un complexe.

Posté par
malou Webmasterre : Dm de maths sur nombre complexes 10-01-19 à 20:29

ben P(z) est un complexe !

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 07:52

ah j'ai compris on utilise les propriétés du complexe nul
si z=0 alors z/ son conjugué est ausi nul.
c'est ça?
et on fait la même chose avec P(z) qui est 1 complexe.

au fait comment écrire le conjugué de P(z) en latex?

merci

Posté par
malou Webmasterre : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 08:49

\bar{P(z)}

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 11:51

merci
comment montrer que \bar{P(z)}=P(\bar{z})?

Posté par
malou Webmasterre : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 11:53

en partant de \bar{P(z)} et en appliquant les propriétés des conjugués
essaie

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 12:11

je sais juste que  z\bar{z}=x^{2}+y^{2}

Posté par
Glapion Moderateurre : Dm de maths sur nombre complexes 11-01-19 à 12:50

il faut surtout savoir et utiliser les propriétés du conjugué :
- le conjugué d'une somme est la somme des conjugués,
- le conjugué d'un produit est le produit des conjugués.

Et la démonstration devient facile.

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 14-01-19 à 16:07

bah c'est pas de la mauvaise volonté...je comprends pas trop...

p(z)=a+ib
c'est pour ça qu'on parle d'1 somme?

Posté par
Glapion Moderateurre : Dm de maths sur nombre complexes 14-01-19 à 17:37

non " le conjugué d'une somme est la somme des conjugués" ça veut dire :

\bar{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 14-01-19 à 19:17

oui ça j'ai compris.
je ne vois pas comment l'appliquer pour démontrer de 11h51

Posté par
Glapion Moderateurre : Dm de maths sur nombre complexes 14-01-19 à 21:58

ben tu appliques ça au polynôme tout entier.

Posté par
valparaisore : Dm de maths sur nombre complexes 15-01-19 à 11:48

=\bar{p(z)}=\bar{a+ib}=\bar{a}+\bar{ib}=a-ib=\bar{z}

Posté par
Glapion Moderateurre : Dm de maths sur nombre complexes 15-01-19 à 12:20

Pars plutôt de p(z) = anzn + an-1zn-1 +...+a1z+a0 = 0
tu prends le conjugué et tu appliques les règles sur la somme

\bar{p(z)}=a_n\bar{z}^n+a_{n-1}\bar{z}^{n-1}+...+a_1\bar{z}+a_0 = 0

Et ça, ça montre que si z est solution alors \bar{z} est alors aussi une solution de l'équation p(z)=0. c'est pas plus compliqué que ça !

Posté par
vhamre : Dm de maths sur nombre complexes 15-01-19 à 18:07

ATTENTION : Si les coefficients sont tous Réels !

Posté par
Glapion Moderateurre : Dm de maths sur nombre complexes 15-01-19 à 18:47

oui mais c'est dit dans l'énoncé.

Posté par
vhamre : Dm de maths sur nombre complexes 15-01-19 à 21:11

C'est une condition qu'il vaut mieux rappeler


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