Bonjour,

Commence par montrer que U_n est toujours > a
Pour cela, étudie le signe de U₀ - a puis le signe de U_n+1 - a
Ensuite, pour la décroissance, étudie le signe de U_n+1 - U_n

J'ai trouvé via une question ou l'on doit montrer que :  Un²₊₁-a = (Un²-a)²/(4Un²)
que Un₊₁ > a

Je n'ai pas la valeur de Uo , je sais juste que Uo>0

Dsl c'est Pour cela, étudie le signe de U₁ - a

U1-a = (1/2)(Uo +a/Uo) - a ) . Avec ça je ne peux pas déterminer le signe de ce résultat .

Et quand je fais Un+1- Un j'obtiens : (1/2) ((a/Un)-Un) , comment déterminer le signe de ça , c'est ce que j'avais essayé de faire hier , mais j'ai pas  réussi .

Je rappelle que a>0

Réduis ton expression de Un+1-Un au même dénominateur, et étudie le signe du numérateur.

J'arrive à la fin à trouver a-Un²>0 qui me donne :

Un <a , seulement je sais que c'est faux car il faut montrer que Un est majoré par a

Tu as dû perdre un signe " - " en route...
Peux-tu poster l'intégralité de ton calcul ?

Bonjour,

J'obtient U_n+1 - Un = (1/2) * ((a-Un²)/Un)

Comment fait-on pour trouver le signe du numérateur a - Un² ?

Car si on dit que a - Un² < 0, on trouve bien Un > a
Mais si on dit que a - Un² >0 , on trouve Un < a

Comment prouver que c'est le premier cas qui est exact et pas le second ?

Je reprécise que dans la question précédente, on montre que U_n+1² - a = ((Un² - a)² / 4Un²).

Tu prends le problème à l'envers.
Tu dois d'abord montrer, si tu ne l'as pas déjà fait, que pour n > 0 tu as :
a   Un
Pour cela, tu peux calculer :
Un+1 - a = (1/2) (Un + a/Un) - a
= (1/2)(Un²-2Una + a)/Un
= (1/2)(Un - a)²/Un 0
C'est vrai pour tout n 0, donc tu as bien pour tout n   1 :
a   Un
Ensuite tu calcules :
Un+1 - Un = (1/2)(Un + a/Un) - Un
= (1/2)(-Un + a/Un)
= (1/2)(-Un² + a)/Un
Avec ce que tu viens de montrer précédemment tu as :
a   Un
a Un²
-Un² + a 0
Un+1 Un
La suite (Un) est donc décroissante.
Enfin tu peux montrer par récurrence que :
- Si Uo = a alors tous les termes Un = a
La suite est constante
- Si U0 a, alors tous les termes Un a
Les inégalités sont alors strictes, et la suite est strictement décroissante.

En fait, ton problème est venu de l'ordre dans lequel tu as pris les questions :

Citation :
Montrer que Un est décroissant et minorée par a ?