salut
(an) est la moyenne arithmetique tandis que (bn) est la suite geometrique. Ces suites sont donnees en exemple lorsqu'on parle des suite adjacentes (a voir en faculté).

1)soit la propriete P(n) a(n)>=0 et b(n)>=0

pour n=0 P(0) est vraie.
soit n dans N tel que P(n) es vraie.
montrons que P(n+1) l'est.
a(n)>0 et b(n)>0 donc a(n)+b(n)>0 et a(n)*b(n)>0
donc a(n+1)>0 et b(n+1)>0
donc P(n+1) est vraie. Donc pour tout n, P(n) l'est.

2a)((an+1))^2-(b(n+1))^2=(a(n+1)-b(n+1))*(a(n+1)+b(n+1))=(1/2)*(a(n)+b(n)-2rac(a(n)*b(n)))*((a(n)+b(n)+2rac(a(n)*b(n)))
et comme a(n) et b(n)>=0
on a ((an+1))^2-(b(n+1))^2=(rac(a(n))-rac(b(n)))^2*(rac(a(n))+rac(b(n)))^2>=0

2b) pour n=0, a(0)>b(0)
on a vu precedemment que (a(n+1))^2-(b(n+1))^2=(a(n+1)-b(n+1))*(a(n+1)+b(n+1)>=0
donc comme pour tout n, a(n)>=0 et b(n)>=0
on a a(n+1)-b(n+1)>=0
donc a(n+1)>=b(n+1) pour tout n.


donc pour tout n dans N, a(n)>=b(n)

3) 1) nous a permis de definir b(n) (a cause de la racine)
   2) nous a indiqué que a(n)>=b(n).
la 3) va utiliser la 2) comme ceci :
a(n+1)-a(n)>=(1/2)*(a(n)+b(n))-a(n)=(1/2)*(b(n)-a(n))
comme b(n)=<a(n) on a a(n+1)-a(n)=<0 => (a(n)) suite decroissante.
b(n+1)-b(n)=rac(a(n)*b(n))-b(n)=rac(b(n))*(rac(a(n)-rac(b(n)).
la fonction x->x^(1/2) est croissante sur R+.
donc si a(n)>=b(n) alors rac(a(n))>=rac(b(n))
donc b(n+1)-b(n)>=0
donc (b(n)) est croissante.

4)

pour n=0 ok . soit n tel que c'est vrai.
on regarde pour n+1.

a(n+1)-b(n+1)-(1/2)(a(n)-b(n))=b(n)-b(n+1)=<0
donc a(n+1)-b(n+1)=<(1/2)(a(n)-b(n))

comme a(n)-b(n)=<(a-b)/2^n on a a(n+1)-b(n+1)=<(a-b)/2^(n+1).

je te laisse conclure cette question...

5.  
la suite (v(n)) definie pour tout n par v(n)=(a-b)/2^n est la suite geometrique de premier terme (a-b) et de raison 1/2.
la raison etant inferieure a (1/2) la suite (v(n)) converge vers 0.

de plus du fait de l'encadrement obtenue en 4) et 2b), on peut conclure que la suite (a(n)-b(n)) converge vers 0.

la suite a(n) est decroissante et minorée par b(0).
en effet le fait d'etre croissante a ete demontré en 3).

pour tout n dans N a(n)>=b(0) ?
on le fait par recurrence
n=0 ok
soit n tel que c'est vrai.
on regarde n+1 :
a(n+1)>=b(n+1)>=b(0) (on utilise 2b+3)

la suite (a(n)) est decroissante et minoree => elle converge. soit l sa limite.

(b(n)) est croissante et majoree (meme raisonnement que pour (a(n))) donc (b(n)) converge. soit l' sa limite.

comme limite de (a(n)-b(n)) c'est 0 on a l=l'.
donc (a(n)) et (b(n)) converge vers la meme limite.

p.s. je tiens a souligner que j'ai demontre que (a(n)-b(n)) converge vers 0 mais il a fallu apres que je demontre que (an) et b(n) convergeaient pour passer a la conclusion.

en effet on ne peut pas deduire directement que a(n) et b(n) converge et que leur limite sont egales.
exemple u(n)=(-1)^n v(n)=(-1)^n la somme c'est 0.
donc (u(n)-v(n)) converge vers 0 mais (u(n)) et (v(n)) ne sont pas convergentes.

a mediter. bye.

merci bocoup minotaure
a plus j'espere