Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

DM demi-plan Poincaré

Posté par
Dreamyy 29-09-18 à 22:02

Bonsoir, je suis actuellement en train de faire un DM mais je bloque un peu sur qq questions ...


Le demi plan de Poincaré est l'ensemble \huge H = \begin{Bmatrix} z \in \mathbb{C} , Im(z) > 0 \end{Bmatrix}

J'ai déjà fait toute la partie 1 qui parle des Homographies.
Le grand 2 est intitulé "Distance hyperbolique".

Voici l'énoncé de ce dernier :

3. Montrer que pour tous
u,v \in H, \begin{vmatrix} u-v\end{vmatrix} < \begin{vmatrix} u-\bar{v} \end{vmatrix}, puis que \huge \frac{\left| u-\bar{v}\right|+\left| u-v\right|}{\left| u-\bar{v}\right|-\left| u-v\right|} \geq 1

Pour cette question, j'ai réussi le début,
pour la 1ère j'ai calculé avec x+iy = u et x'+iy' = v

Et pour la 2ème j'ai juste dis que
\huge |u-\bar{v}| - |u-v| \leq |u-\bar{v}| + |u-v|
car on voit très bien qu'on somme et qu'on soustrait. On a le droit de diviser par cette quantité car c'est positif (strictement)

Est-ce correct ?

Par la suite on nous dit :

Pour tout u,v \in H, la distance hyperbolique entre u et v, notée d(u,v), est définie par

\huge d(u,v) = ln \frac{\left| u-\bar{v}\right|+\left| u-v\right|}{\left| u-\bar{v}\right|-\left| u-v\right|}

4. Montrer que pour tout u,v \in H,

(a) d(u,v) 0
(b) d(u,v) = 0 équivaut à u = v
(c) d(u,v) = d(v,u)

Pour 4(a) j'ai simplement dit que ln est définie n'est pas définie sur ]-;0[, donc c'est réglé
Pour 4(b), on a :

ln \frac{\left| u-\bar{v}\right|+\left| u-v\right|}{\left| u-\bar{v}\right|-\left| u-v\right|} = 0 \frac{\left| u-\bar{v}\right|+\left| u-v\right|}{\left| u-\bar{v}\right|-\left| u-v\right|} = 1 \left| u-\bar{v}\right|+\left| u-v\right| = \left| u-\bar{v}\right|-\left| u-v\right|

\left| u-v\right| = -\left| u-v\right| et ceci est vrai si u = v
car on obtient 0 = 0. On a le droit de dire ça ?

Par la suite on a dans l'énoncé :

On admettra par ailleurs que pour tous u, v, w \in H, d(u,w) d(u,v) +d(v,w)

5. (a) Soient a,b,c ,d , exprimer h(v) - h(u) en fonction de u-v, ad-bc, cu+d et cv + d.
J'arrive à

\huge \frac{ad(v-u)-bc(v-u)}{(cv+d)(cu+d)} = \frac{(ad-bc)(v-u)}{(cv+d)(cu+d)}
Le problème c'est que je n'ai pas u-v mais v-u, c'est grave ?



(b) En déduire que pour tous u,v H d(h(u),h(v)) =d(u,v)  

Je n'arrive pas cette question ...


Merci d'avance à tous ceux qui m'aideront ...
et qui me corrigeront

Bonne soirée  <3 .-.

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 22:51

Erreur de ma part pour la 4. (a)

on sait d'après l'énoncé que toute cette quantité supérieure ou égale à 1 donc d(u,v) 0
car ln(1) = 0

Posté par
jsvdbre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:08

Bonsoir Dreamyy.

Citation :
Le problème c'est que je n'ai pas u-v mais v-u, c'est grave ?

Bah non puisque \blue v-u = -(u-v)

5. (b) J'imagine que h est une homographie h(z) = \dfrac{az+b}{cz+d}  ?

Pour répondre à la question, dans la distance hyperbolique, tu écris la définition :

d(h(u);h(v)) = \ln \left(\cdots) = \cdots en fonction de ta question 5.(a) puis tu utilises la propriété classique du ln : \ln(a.b/c) = \ln(a) + \ln(b) - \ln(c) pour a,b et c correctement choisis et strictement positifs.

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:20

Merci pour ta réponse jsvdb ^^ :*

Juste pour la 4(c) je vois pas comment faire car à la fin j'arrive à un truc où je ne sais pas quoi faire ...

\large |u - \bar{v}| |v-u| = |u-v| |v-\bar{u}|

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:22

jsvdb @ 29-09-2018 à 23:08

Bonsoir Dreamyy.

Pour répondre à la question, dans la distance hyperbolique, tu écris la définition :

d(h(u);h(v)) = \ln \left(\cdots) = \cdots en fonction de ta question 5.(a) puis tu utilises la propriété classique du ln : \ln(a.b/c) = \ln(a) + \ln(b) - \ln(c) pour a,b et c correctement choisis et strictement positifs.


Mais je n'ai pas l'expression de h(u) et h(v) : j'ai leur différence donc je fais comment pour le ln ?

Posté par
luzakre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:24

Bonsoir !

Citation :
et ceci est vrai si u = v car on obtient 0 = 0.

Tu ne donnes qu'une condition suffisante donc ton \iff de début de ligne n'est pas justifié.

Où est la solution de 4.c) ?

5. Sans savoir qui est h pas de réponse possible.
Grave de trouver l'opposé de ce qu'on demande ? A priori, oui !

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:26

la 4c je n'ai pas réussi

h est l'homographie qui à x associe az+b   / cz+d

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:27

Comment dois-je faire pour justifié mon premier équivalent alors stp ?^^-

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 29-09-18 à 23:31

justifier *
^^'

Posté par
luzakre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 00:27

tout bête :
|u-v|=-|u-v|\iff|u-v|=0\iff u=v

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 00:49

Merci de ta réponse !
^^

Aurais-tu une solution pour la 5 (b) par hasard ? :/ je bloque

Posté par
Ramanujanre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 00:58

Utiliser la question 5/a comme l'a dit Jsvdb vous avez la formule pour calculer la distance.

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 01:24

D'après 5) (a), on a :

\huge h(v) - h(u) = \frac{(ad-bc)(-(u-v))}{(cv+d)(cu+d)}



\huge d(h(u),h(v)) =   \huge ln \frac{|h(u)-\bar{h(v)}|+\frac{ad-bc(u-v)}{(cv+d)(cu+d)}}{|h(u)-\bar{h(v)}|-\frac{ad-bc(u-v)}{(cv+d)(cu+d)}}

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 01:26

Mais je vois pas comment faire avec les 1ers termes du dénominateur et du numérateur ...

Posté par
Ramanujanre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 02:03

Utiliser les règles du logarithme :

ln(\dfrac{a}{b})=ln(a)-ln(b)
ln(ab)=ln(a)+ln(b)

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 02:18

\huge d(h(u),h(v)) = ln(|h(u)-\bar{h(v)}|+\frac{ad-bc(u-v)}{(cv+d)(cu+d)}) \times ln(|h(u)-\bar{h(v)}|-\frac{ad-bc(u-v)}{(cv+d)(cu+d)})

J'essaye depuis avant sur mon brouillon mais en vain ... :/

Posté par
luzakre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 09:10

Et si tu n'oubliais pas que \bar{h(v)}=h(\bar v) ? Et que |c\bar v+d|=|cv+d| ?

Posté par
luzakre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 09:13

J'avais "oublié" hier soir de te donner la solution du 4.c) :

|u-\bar v|=|\bar{u-\bar v}|=|\bar u-v|

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 10:53

Donc

|h(u)-\bar{h(v)}| = |h(u)-h( \bar{v})| =  |h(u)-h(v)|
Est ce juste d'écrire ca ? (Je pense pas)0

Posté par
luzakre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 11:31

"ne pas penser que" n'est pas une bonne attitude : tu démontres ou tu cherches un contre-exemple.
Par exemple si  h(z)=1/z,\;u=2i,\;v=i

D'ailleurs, tu n'as pas besoin du dernier terme de ton égalité.

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 11:43

C'est vrai, mais depuis hier je rame donc bon .. mais ce n'est pas une raison. Le problème c'est que je ne suis pas à l'aise avec tous ces conjugués.

Lorsque j'écris d(h(u),h(v)), j'obtiens cela :


\huge \frac{|\frac{au+b}{cu+d}-\frac{a\bar{v}+b}{c\bar{v}+d}|+\frac{(ad-bc)(u-v)}{(cv+d)(cu+d)}}{|\frac{au+b}{cu+d}-\frac{a\bar{v}+b}{c\bar{v}+d}|{-\frac{(ad-bc)(u-v)}{(cv+d)(cu+d)}}}

Posté par
Dreamyyre : DM demi-plan Poincaré 30-09-18 à 12:38

j'ai trouvé merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !