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Dm dérivations

Posté par
Poune23
06-12-18 à 14:55

Bonjour,

J'ai un exercice de mon dm que je n'arrive pas à passer... . Voici le sujet :

f est la fonction définie sur   par f(x)=1/x.
C est sa courbe représentative dans un repère. M est un point quelconque de la courbe C. La tangente en M à la courbe C coupe l'axe des ordonnées en A et l'axe des abscisses en B.

Démontrer que le point M est le milieu du segment AB.


J'ai cherché l'équation de la tangente  Y=f'(x)(x-a)+f(a).
Ici, f(a)=1/a
soit f'(a)=-1/a2
Y=(-1/a2)*(x-a)+1/a
Y=(-x+a)/(a2)+1/a
Y=(-x+1)/a

Je pense qu'après il faut utiliser les coordonnées de la droite mais je ne vois pas comment... Si quelqu'un pourrait m'aider ! Merci d'avance !

Dm dérivations

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 14:58

Bonjour

vous avez l'équation de la tangente  
quelles sont les coordonnées des points d'intersection de cette droite avec les axes ?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:01

revoyez l'équation de la tangente

le coefficient directeur est -\dfrac{1}{a^2} et non  -\dfrac{1}{a}

ici c'est encore correct  Y=(-1/a2)*(x-a)+1/a

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:01

Merci de votre réponse ! Alors, je dirais que pour A nous avons (0;yA) et pour B (xB;0)

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:04

Par le coefficient directeur vous voulez dire f'(a) ? Car pour f'(a) j'ai bien mis -1/a2 il me semble

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:04

il ne faut pas oublier  que ces points appartiennent à la tangente

que vaut y si  x=0?   x si y=0

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:06

en lisant ceci

Y=(-x+1)/a

le coefficient directeur est -\dfrac{1}{a}

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:10

Ahh d'accord ! Donc, dans ce cas ça nous fait : Y=(-1/a2 ) (x-a) + 1/a ?
Car je ne vois pas comment je pourrais le développer de manière plus simple

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:13

Justement, c'est pour trouver y si x=0 et inversement que je bloque.. J'avais pensé à utiliser l'équation de la droite en disant que (xM+xA)/2 = l'équation de la droite ;( yM + yA)/2 = l'équation de la droite

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:15

tout simplement comme n'importe quel développement

y=-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{a}{a^2}+\dfrac{1}{a} =-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}

ou si vous préférez un seul dénominateur       y=\dfrac{-x+2a}{a^2}

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:20

15 :13
bien sûr il faut utiliser l'équation de la droite

on sait qu'un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe

dans un cas vous avez la valeur de x vous pouvez en déduire la valeur de y
dans l'autre la valeur de y et vous pouvez en déduire la valeur de x

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:22

D'accord je vois merci ! Dans ce cas, (xM+xA)/2=(-x+2a)/a2 et pareillement pour (xM+xB)/2 c'est ça ?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:30

non
d'abord les coordonnées de A et de B ensuite du milieu

A  x=0 \quad  y=-\dfrac{1}{a^2}\times 0+\dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{a}

conclusion  A\quad \left(0~;~\dfrac{2}{a}\right)

B ?

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:41

Oui d'accord, j'avais oublié cette notion ! Donc, puisque l'on sait que yB=0 :
0=(-1/a2 )x + 2/a
(1/a2 )x = 2/a
x= (2/a)/(1/a2 )
x=2/a* a2 /1
= (2a2 ) / a
Est-ce bon ?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:44

il faudrait songer à simplifier
B  (2a~;~0)

coordonnées du milieu  I de [AB]

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:51

Ah oui d'accord. Du coup, milieu de I :
(xa+xb)/2 ; (ya+yb)/2
=(0+2a)/2 ; (2/a + 0 )/2
=(2a)/a ; (2/a)/2
=a; (2/a)*(1/2)
=a; 2/2a
=(a;a)
Est ce normal que le résultat obtenu soit a;a ?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 15:59

\dfrac{2}{2a}=\dfrac{\cancel{2}1}{\cancel{2}a}=\dfrac{1}{a}

il faudra revoir les fractions

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:01

Ah oui en effet je ne suis pas très doué.
Et donc cela est suffisant pour démontrer que le point M est le milieu du segment AB ? Ou on doit encore le prouver d'une autre manière ?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:07

les coordonnées de I sont  \left(a~;~\dfrac{1}{a}\right )

or les coordonnées de M sont \dots\dots

donc \dots\dots

M est le milieu de [AB]
à compléter

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:15

Alors, pour les coordonnées de M je ne suis pas du tout sûr.. Faudrait-il calculer les coordonnées de la droite AM et/ou BM ? Ou utiliser la fonction donnée au départ...?

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:17

rien à faire sauf lire correctement le texte

Citation :
M est un point quelconque de la courbe C.

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:24

M est un point quelconque de la courbe C. Sachant que la courbe C à pour équation f(x)=1/x. Soit x en abscisse et 1/x en ordonné.  Quand on remplace x par a : f(a)=1/a. Ce sont bien les coordonnées que nous avons retrouvées en cherchant le milieu de M. Donc M est bien le milieu de AB.
Je pense cette fois ci avoir trouvé le bon résultat

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:34

Enfin, la bonne solution je l'espère

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:35

les coordonnées de I sont  \left(a~;~\dfrac{1}{a}\right )

or les coordonnées de M sont \left(a~;~\dfrac{1}{a}\right )

donc \M=I

M est le milieu de [AB]

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:36

lire donc M=I

Posté par
Poune23
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:38

D'accoord ! Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
hekla
re : Dm dérivations 06-12-18 à 16:45

de rien  ce fut plutôt des rectificatifs
il faudrait faire davantage attention

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