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Niveau seconde
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Dm diviseur

Posté par
Alice175
23-12-19 à 16:10

Bonjours j'ai un dm à faire cette semaine je sais pas par quoi commencer je n'ai pas comprit ce que le prof me demande donc est-ce que vous pouvez m'aider svp

On va chercher la liste des diviseur strictements positif d'un entier strictements positif donné.

Première problème : On cherche les nombres dont le doubles a le double de diviseurs

Deuxième problème: On cherche les nombres dont le nombre de diviseurs est impaire

Quels nombres répondent aux deux critère à la fois ?

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 16:22

Bonjour,
Que peux-tu dire du nombre 9? ou du nombre 25 ?

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 16:25

Oups, oublie je crois t' avoir mise sur une mauvaise voie...

Posté par
Mateo_13
re : Dm diviseur 23-12-19 à 16:26

Bonjour Alice,

Citation :
On va chercher la liste des diviseur d'un entier donné.


prends un exemple : cherche la liste des diviseurs de 210 :
210 = 1 x 210 = 2 x 105 = 3 x 70 = 5 x  42 = ...

Citation :
Première problème : On cherche les nombres dont le double a le double de diviseurs


2 a deux diviseurs : 1 et 2.
4 a trois diviseurs : 1 ; 2 ; 4 donc 2 n'est pas solution du problème : fais d'autres essais et devine quelle pourrait être la forme d'une solution.

Citation :
Deuxième problème: On cherche les nombres dont le nombre de diviseurs est impair


On a vu que 4 est une solution. Trouves-en d'autres pour voir s'ils obéissent à une loi à deviner.

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
kenavo27
re : Dm diviseur 23-12-19 à 16:27

Bonjour
Sauf distraction, pour expliciter

Citation :
On cherche les nombres dont le double a le double de diviseurs

Exemple :
prenons le nombre 15
les diviseurs sont : 1,3,5,15   (4 diviseurs)

le double de 15 : 30
les diviseurs de 30 : 1,2,3,5,6,10,15 ,30 ( 8 diviseurs)

Posté par
kenavo27
re : Dm diviseur 23-12-19 à 16:29

bonjour Mateo_13 et chadok
je vous laisse poursuivre

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:05

Alice,
Tu t' en sors ?
Un début de piste : combien de diviseurs accepte un nombre premier ?

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:38

La je suis un peu perdu avec tout les réponses

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:40

Donc repartons depuis le début
combien de diviseurs accepte un nombre premier ?

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:44

Mais je croit avoir comprit la première
Yaura pas une méthode pour trouver tout les nombre dont le double a le double de diviseur  car si je commence à chercher tout les nombre qui convient à cette question ça va être long ... enfin je pense
Et j'ai oublier merci pour tout vos réponse !

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:45

Un nombre premier  accepte 1 et lui même comme diviseur

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:46

Parfait. Donc un nombre premier accepte 2 diviseurs.
Maintenant, si tu le multiplies par 2, combien de diviseurs accepte ce nouveau nombre ?

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:50

Il accepte 4
Donc si j'ai bien comprit pour le premier problème sa serai tout les nombre premier c'est bien ça ??

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:52

Non ça serai pas tout les nombre premier car 15 n'en fait pas partie pourtant son double a bien le double diviseur

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:53

Yessss
Mais ce ne sont pas les seuls : Kenavo t' a montré plus haut, que 15 était aussi solution. Et pourtant, 15 n' est pas un nombre premier. Comment ça se fait ?

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 17:55

Tu m' as coupé l' herbe sous le pied
Mais 15, c' est 3x5, et que peux-tu dire de 3 et de 5 ?

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 18:46

3 et 5 sont des nombre premier
C'est aussi le cas quand on multiplie des nombres premier entre eux ??

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 23-12-19 à 19:15

Bonsoir,
Si tu regardes avec 2 et 5 qui sont premiers :
10 a ... diviseurs.
Son double, 20, a ... diviseurs.

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 19:25

10 a 4 diviseur
Et
20 a 6 diviseur donc sa marche pas

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 23-12-19 à 19:27

Bonsoir j'ai oublier *

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm diviseur 23-12-19 à 20:57

Bonjour,

l'idée serait de déterminer une formule donnant le nombre de diviseurs d'un nombre quelconque ...
... à partir de sa décomposition en facteurs premiers.

comment on fabrique un diviseur de N à partir de la décomposition en facteurs premiers de N ?
et donc de combien de façon peut on le faire ?

par exemple nombre de diviseurs de 23 × 3 × 52
sans les chercher un par un.

Posté par
chadok
re : Dm diviseur 23-12-19 à 21:00

Certes, mais tu y es presque
Donc Sylvieg nous montre que sur un nombre pair (donc divisible par 2), ça ne marque pas.
Tu peux essayer avec quelques nombres impairs qui sont le produit de 2 nombres premiers, juste pour voir ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm diviseur 23-12-19 à 21:24

mais en faisant comme ça on n'a pas fini de chercher ...
et si c'est le produit de 3, de 4 etc nombres premiers ? et si c'est un nombre premier élevé à une certaine puissance ? etc etc..
bref il faut trouver une règle générale ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 23-12-19 à 21:42

Bonsoir mathafou,
On est en seconde, là.
Je ne suis plus trop dans le bain, mais je ne crois pas que la démarche attendue soit de démontrer une formule générale sur le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul quelconque.

Commencer par faire une conjecture puis chercher à la démontrer semble être la piste privilégiée parchadok.

Je reprends son exemple :

Citation :
prenons le nombre 15
les diviseurs sont : 1,3,5,15 (4 diviseurs)

le double de 15 : 30
les diviseurs de 30 : 1,2,3,5,6,10,15 ,30 ( 8 diviseurs)
En observant les diviseurs de 30, on voit qu'il y a :
D'une part les 4 diviseurs de 15, c'est à dire 1, 3, 5, 15.
Et d'autres part les 4 autres : 2, 6, 10, 30.
Un petit lien entre ces 2 listes ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 23-12-19 à 21:44

En fait c'est l'exemple de kenavo27

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 16:24

Oui j'ai trouver le lien l'es diviseur du double   sont aussi le double des diviseur

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 24-12-19 à 16:39

Oui, les diviseurs du double sont aussi le double des diviseurs.
Ton aussi signifie que les diviseurs de 30 sont
d'une part les diviseurs de 15
et d'autre part les doubles des diviseurs de 15.
Donc, en tout 4+4 = 8.

Essaye de généraliser.

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 16:50

Donc pour avoir le double de diviseur d'un nombre il faut aussi que leur diviseur de ce nombre soit le double du nombre
Je sais pas si je l'ai bien dit

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 24-12-19 à 16:54

Ce n'est pas très clair

Que se passe-t-il avec les diviseurs de 14 et de 28 ?

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 17:03

Sa marche pas
141;2;7;14)
281;2;4;7;14;28)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 24-12-19 à 17:19

Oui, car en multipliant les diviseurs de 14 par 2, tu retombes sur certains diviseurs de 14.
Ce qui ne pouvait pas arriver avec 15 et 30.

Posté par
flight
re : Dm diviseur 24-12-19 à 18:04

salut

par constatation , si on prend un n impair  : 15 , ses diviseurs seront  {1,3,5,15}
le double de 15 est 30  qui a pour diviseurs {1,2,3,5,6,10,15,30}  chaque diviseurs de 15 "génère " pour "30" un nouveau diviseur , forcement ca fera le double de diviseurs pour 30. ce qui n'est pas le cas pour les nombres pairs.

Posté par
flight
re : Dm diviseur 24-12-19 à 18:11

pour la dernière question , indice : il y a une petite histoire de carrés

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 20:48

Mais pour la première probleme on doit répondre quoi parce que la je suis perdu un peu
J'ai compris que les nombre premier correspondent au premier problème mais je serai pas quoi répondre
Et pour le deusieme probleme c'est les nombre paire non

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 20:51

Enfin je serai repondre mais je serai pas comment justifier
Et pour le deusieme j'ai une question la question nous dit que il faut pas le nombre de diviseur soit paire mais si on prend par exemple 3 sont double et 6 donc c'est forcément paire

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 20:55

Si il y a une histoire de carré le nombre chercher sera ou carré ??
C'est bien ça ??

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 21:02

Et je viens e relire un peu tout pour mieux comprendre et j'ai l'impression que tout les nombre impaire marche mais pas les nombre paire
Est-ce une bonne remarque ??

Posté par
flight
re : Dm diviseur 24-12-19 à 21:36

ca marche pour tout nombre impair en effet

Posté par
flight
re : Dm diviseur 24-12-19 à 21:37

..apres en seconde tu peut fonder tes conclusions sur l'observation en prenant plusieurs exemples ( "en expérimentant")

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 24-12-19 à 22:48

D'accord et du coup pour la deusieme problématique il faut trouver des nombre impaire contenant un nombre de diviseur impair mais quand on multiplie par deux c'est forcément paire
Est ce que vous pourriez m'éclairer sur ce sujet svp

Posté par
flight
re : Dm diviseur 24-12-19 à 23:26

salut

si on decompose un entier en facteur premier  de facon general on pourra ecrire que

N = p11.p22......pnn

si on eleve N au carré il vient  

N² = p11.p22......pnn

et le nombre de diviseurs de N² est donc :
d(N²)= (21  + 1) .(22+1)...(
2n+1)     et un produit de facteurs tous impairs donne  ...
à toi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 25-12-19 à 11:04

Joyeux Noël à tous \;
Pas facile d'aider avec les outils de la classe de seconde...
Toujours pour le premier problème :
L'entier n étant non nul, avec D le nombre de ses diviseurs, on cherche quand le nombre de diviseurs de l'entier 2n est égal à 2D.

On sépare les diviseurs pairs des diviseurs impairs de 2n.
1) Les diviseurs pairs de 2n sont de la forme 2k avec k entier.
2k divise 2n si et seulement si k divise n.
Il y a donc au plus D diviseurs pairs de 2n . On note D' leur nombre.
2) Les diviseurs impairs de 2n sont de la forme 2k+1 avec k entier.
2n = (2k+1)p où p est entier.
Le produit de 2 entiers impairs est impair ; donc p ne peut pas être impair.
p = 2q. D'où n = (2k+1)q. Ce qui donne 2k+1 divise n.
Réciproquement, si 2k+1 divise n alors 2k+1 divise 2n.
Les diviseurs impairs de 2n sont donc les diviseurs impairs de n.
Il y a donc au plus D diviseurs impairs de 2n. On note D" leur nombre.

D'+D" = 2D si et seulement si D' = D" = D.

Quand peut-on avoir D" = D ?
Autrement dit :
Quand le nombre de diviseurs impairs de n est-il égal au nombre de diviseurs de n ?
Ou encore :
Quand tous les diviseurs de n sont-ils impairs ?

Bon, je reconnais que c'est alambiqué. Il y a peut-être plus simple dans le même genre \;

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 25-12-19 à 12:16

Après relecture, un peu moins alambiqué :
1) Les diviseurs pairs de 2n sont de la forme 2k avec k entier.
2k divise 2n si et seulement si k divise n.
Les diviseurs pairs de 2n sont donc de la forme 2k où k est un des D diviseurs de N.
Il y en a donc exactement D.
2) Les diviseurs impairs de 2n sont de la forme 2k+1 avec k entier.
2n = (2k+1)p où p est entier.
Le produit de 2 entiers impairs est impair ; donc p ne peut pas être impair.
p = 2q. D'où n = (2k+1)q. Ce qui donne 2k+1 divise n.
Réciproquement, si 2k+1 divise n alors 2k+1 divise 2n.
Les diviseurs impairs de 2n sont donc les diviseurs impairs de n.
On note E leur nombre.

D+E = 2D si et seulement si E = D.
Autrement dit :
Quand le nombre de diviseurs impairs de n est égal au nombre de diviseurs de n.
Ou encore :
Quand les diviseurs de n sont tous impairs.

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 25-12-19 à 17:56

Oui j'ai un peu près comprit si je rit sa ecrit ce que c'est suffisant
Mais du coup j'ai pas besoin de préciser un nombre

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 25-12-19 à 17:59

Si jecrit sa sur mon dm est   ce que c'est suffisant je voulais dire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 25-12-19 à 18:02

Tu rédiges, à ta manière, ce que tu as compris et qui correspond à ce que vous avez vu en cours sur les diviseurs.

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 25-12-19 à 18:05

Oui jvais essayer d'écrire ce que j'ai comprit mais du coup j'aurai une question aussi est ce que j'ai besoins d'indiquer un. Nombre précis
Le fait aussiqie vous ayez écrit 2k+1 me rappeler le fonctionnement de si un carré est impaire alors son carré les aussi

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 25-12-19 à 18:07

Je voulais vous demander aussi si vous pourrez m'expliquez pour le problématique 2 car je l'ai pas bien comprit et j'aimerais bien comprendre avant d'écrire car pour le premier j'ai bien comprit je pourrais rédiger facilement mais le deusieme est un peut floue encore

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dm diviseur 25-12-19 à 18:08

Tu peux commencer par citer un exemple avec un nombre précis.
Puis généraliser.
Je n'ai pas compris ta seconde question "si un carré est impaire alors son carré les aussi ".

Posté par
Alice175
re : Dm diviseur 25-12-19 à 18:10

Euh je me suis tromper c'est si un nombre est impaire sont carré les aussi
Par exemple 3 est impaire
3au carré l'est aussi

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