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Dm ellipse
Bonjour,
j'ai un Dm en plusieurs parties sur les ellipses, autant les parties 2 et 3 me semblent faisables autant je coince sur le début
Soit (𝑂;𝑖⃗ ; 𝑗⃗) un repère du plan et a et b deux nombres réels strictement positifs avec b < a. On appelle ellipse (E) l'ensemble des points M(x ; y) du plan tels que : 𝒙²/𝒂²+𝒚²/𝒃²=𝟏
Le but de cet exercice est d'étudier un cas particulier de (E), où a = 5 et b = 3.
On fera les constructions au fur et à mesure, en prenant pour unité 1 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
1) Ensemble en deux parties
a) Montrer que pour tout point M(x ; y) de l'ellipse (E), on a :
−5≤𝑥≤5 et −3≤𝑦≤3.
J'ai tenté :
si on étudie le cas particulier de (E) avec a=5 et b=3 alors on a :
𝒙²/25+𝒚²/9=𝟏
d'où 𝒚²/9=𝟏-𝒙²/25
alors : 𝒚²/9=(25-𝒙²)/25
comme 𝒚²/9 strictement positif il faut que (25-𝒙²)/25 soit également strictement positif donc que −5≤𝑥≤5 ?????????????????????
je coince sur la suite, des pistes ?
Expliquer la signification graphique de ce résultat.
b) Montrer que (E) admet l'origine O du repère comme centre de symétrie et les axes du repère comme axes de symétrie.
c) Prouver que (E) est la réunion des courbes représentatives (E1) et (E2) des fonctions f1 et f2, définie sur [-5 ;5] par :
𝑓1(𝑥)=35√25−𝑥² et 𝑓2(𝑥)=−𝑓1(𝑥).
d) Déterminer puis tracer les points dans un repère les points d'intersection de (E) avec les axes du repère.
Tu pourrais considérer que, si x est égal à 
5, on a alors
x²/a² = 25/25 = 1 et que y doit alors être nul.
oui mais je n'ai pas que "a" à prouver, il y a aussi "b", c'est ça qui me perturbe, j'ai prouvé que −5≤𝑥≤5 mais pas le reste ....
le a que j'ai écrit est un a quelconque !!!
salut
il est évident que si
le a que j'ai écrit est un a quelconque !!!
salut
il est évident que si
pour la suite : b) Montrer que (E) admet l'origine O du repère comme centre de symétrie et les axes du repère comme axes de symétrie.
j'ai pensé en cherchant dans mon livre (car on ne l'a pas encore vu) qu'il fallait utiliser l'idée d'une fonction impaire ? j'ai lu que si une fonction est impaire alors elle admet l'origine comme centre de symétrie mais le problème c'est que ici ce n'est pas une fonction que l'on nous donne :
𝒙²/𝒂²+𝒚²/𝒃²=𝟏
???? donc comment écrire que f(-x) = f(x) ?
Erreur de ma part !
en fait seule la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapprot à 0, il faut que f(-) = -f(x)
pour trouver f(x), j'ai exprimé x en fonction de y,
j'arrive à
f(x)=Racine ((1/9) - (𝒙²/225))
??????
Un point M(x; y) appartient à l'ellipse si ses coordonnées vérifient l'équation de celle-ci.
Son symétrique par rapport au centre de l'ellipse a pour coordonnées (- x; - y). N'appartient-il pas aussi à l'ellipse ?
ce qui est effectivement le cas car :
𝒙²/25+𝒚²/9=𝟏 équivaut à (-𝒙)²/25+(-𝒚)²/9=𝟏
ok cela prouve le centre de symétrie mais les axes
Deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ont des coordonnées telles que (x; y) et (x; - y) .
Deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ont des coordonnées telles que (x; y) et (x; - y) .
et deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées ont des coordonnées telles que (x; y) et (-x; y) ?
mais je le prouve en donnant des exemples ou en restant sur le cas général :
𝒙²/25+��²/9=𝟏
On peut constater que, dans chacune des ces paires de points symétriques, si un point appartient à l'ellipse, l'autre aussi.
oui et on pourrait aussi conclure en disant que montrer que l'ellipse est symétrique par rapport aux deux axes de symétrie entraine obligatoirement le fait qu'elle soit symétrique par rapport à leur point d'intersection qui est ici O l'origine du repère !
j'ai réfléchis au c) Prouver que (E) est la réunion des courbes représentatives (E1) et (E2) des fonctions f1 et f2, définie sur [-5 ;5] par :
𝑓1(𝑥)=3/5√25−𝑥² et 𝑓2(𝑥)=−𝑓1(𝑥)
je pense que c'est là qu'il faut exprimer y en fonction de x pour essayer de retrouver f1 mais j'arrive à un résultat bizarre....
f(x) =
totalement différent de f1 ????
c) Comment as-tu fait pour trouver ça ?
Note que l'expression de f1(x) est mal écrite dans l'énoncé : il faut lire f1(x) = 3/5 
(25 - x²) .
(x2/a2) + (y2/b2) = 1
donc y2/b2 = 1 - (x2/b2)
y2= (1/b2) - ( x2/a2b2)
en remplaçant par 3 et 5
y2 = (1/9) - (x2/225)
d'où le y donné précédemment mais j'ai du faire une erreur car si on est logique je devrais m'approcher de f1 ?
je reprends tout :
𝒙²/25+𝒚²/9=𝟏
donc : 𝒚²/9=𝟏 - 𝒙²/25
𝒚² = 9 * ( 𝟏 - 𝒙²/25)
𝒚² = 9 * ((25-𝒙²) / 25)
y = 3/5 (25 - x²) ou y = -3/5 (25 - x²)
c'est ça ?
y²/b² = 1 - x²/a² .
Pour isoler y² , il faut multiplier chaque membre par b² :
y² = b²(1 - x²/a²)
D'où y = . . . .
e reprends tout :
𝒙²/25+𝒚²/9=𝟏
donc : 𝒚²/9=𝟏 - 𝒙²/25
𝒚² = 9 * ( 𝟏 - 𝒙²/25)
𝒚² = 9 * ((25-𝒙²) / 25)
y = 3/5 racine (25 - x²) ou y = -3/5 racine (25 - x²)
c'est ça ?
j'ai terminé la partie 1 et 2, je suis passée à la 3.
Soit M un point d'abscisse x de (E1).
On pose F le point de coordonnées ( ; 0) et F' sont symétriques par rapport à O. F et F' sont appelés les foyers de l'ellipse (E).
a) Donner les coordonnées de F et F'.
j'ai trouvé
F (4;0) et F' (-4;0)
b) Montrer que
je pensais partir avec un point M (x;f1) et appliquer pythagore dans un triangle ?
j'avais songé à le faire avec le théorème des distances mais le problème c'est que ça me donne (4-x) au lieu de (x-4)
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