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Dm en spé maths
Bonjour,
Mon prof de spé maths nous a donné un exercice, et j'ai beau réfléchir, je n'arrive pas à trouver de solution...
[/sup][sup]
Exercice 1 :
Soit m, n deux entiers tels que m<n. Soit r le reste de la division euclidienne de n par m.
Montrer que 2^r -1 est le résultat de la division euclidienne de
2^n -1 par 2^m -1.
( Je n'ai vraiment aucune idée, a part le fait qu'il faille utiliser les suites géométriques )
Exercice 2 :
Soit k un entier naturel non nul.
On pose M= (2^(k-1)) * ((2^k) -1)
On suppose que 2^k -1 est un nombre premier
Donner tous les diviseurs de M
Montrer que M est un nombre parfait.
( Le problème, c'est que je trouve les diviseurs de M, mais que leur somme ne correspond pas à M ! )
Merci d'avance, si quelqu'un peut m'aider
Exercice 2.
Les diviseurs de M sont:
1 ; 2^k -1; 2 ; 2²; 2³ ; ... 2^(k-1) ; 2.(2^k -1) ; 2².(2^k -1); 2³.(2^k -1) ... 2^(k-1).(2^k -1)
On doit tous les considérer sauf 2^(k-1).(2^k -1) qui est le nombre lui-même.
S = 1 + 2^k - 1 + (2 + 2² + ... +2^(k-1)) + (2^k -1)(2 + 2² + ...+ 2^(k-2))
S = 2^k + (2 + 2² + ... +2^(k-1)) + (2^k -1)(2 + 2² + ...+ 2^(k-2))
2 + 2² + ... +2^(k-1) est la somme de k-1 termes en progression géométrique de raison 2 et de premier terme = 2 ->
2 + 2² + ... +2^(k-1) = 2(2^(k-1) - 1)
2 + 2² + ... +2^(k-2) est la somme de k-2 termes en progression géométrique de raison 2 et de premier terme = 2 ->
2 + 2² + ... +2^(k-2) = 2(2^(k-2) - 1)
On a alors:
S = 2^k + 2(2^(k-1) - 1) + (2^k -1).2(2^(k-2) - 1)
S = 2^k + 2^k - 2 + (2^k -1).(2^(k-1) - 2)
S = 2^k + 2^k - 2 + 2^(2k-1) - 2^(k+1) - 2^(k-1) + 2
S = 2^k + 2^k + 2^(2k-1) - 2^(k+1) - 2^(k-1)
S = 2^(k+1) + 2^(2k-1) - 2^(k+1) - 2^(k-1)
S = 2^(2k-1) - 2^(k-1)
S = 2^(k-1) .(2k - 1)
S = M
et donc M est un nombre parfait.
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Sauf distraction. 
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