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DM équations cartésiennes

Posté par
Zery
07-02-18 à 16:05

Bonjour !

J'ai un DM à rendre pour lundi, et la dernière question d'un exercice me pose problème :

2. On considère les droites \Delta _{k} et \Delta'_{k'} d'équations cartésiennes :

\Delta _{k} : kx + (1-k)y-1 = 0 et \Delta'_{k'} : k'x + (1-k')y-1 = 0
avec k et k' deux réels distincts.

a) il fallait déterminer un vecteur directeur pour chaque droite, j'ai trouvé \vec{u}\begin{pmatrix} -1+k\\ k \end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix} -1+k'\\ k' \end{pmatrix}

b) Il fallait montrer que les deux droites ne sont pas parallèles, facile, les deux vecteurs ne sont pas colinéaires car à la fin on obtient k-k' et vu que k et k' sont distincts ça ne peut pas être égal à 0.

c) Déterminer les coordonnées du point d'intersection M des deux droites. Que retrouve-t-on ?

Pour cette question j'ai commencé à résoudre mon système, mais je bloque à partir de là : \left\lbrace\begin{matrix} kx + y -ky - 1 = 0\\ k'x+y-k'y -1 = 0 \end{matrix}\right.
Sachant qu'à la dernière question du 1. il fallait montrer que la droite d'équation cartésienne kx + (1-k)y - 1 = 0 passe par le point N(1;1) pour tout réel k donné. Je pense qu'il y a un rapport entre cette question et la 2. c.
En développant j'arrive à trouver x = 1 mais je n'arrive pas à trouver la valeur de y.

Merci d'avance.

Posté par
larrech
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 16:21

Bonjour,

Il est certain qu'ayant montré en 1/ que  pour tout k, \Delta_k passe par N(1,1), on doit retrouver ce point en résolvant le système

\left\lbrace\begin{matrix} kx + y -ky - 1 = 0\\ k'x+y-k'y -1 = 0 \end{matrix}\right.

Commencer par soustraire membre à membre, ce qui donnera une relation simple entre x et y

Posté par
Zery
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 16:40

Bonjour !

J'ai commencé à soustraire chaque membre, et j'arrive jusque là :
\left\lbrace\begin{matrix} kx = -y +ky + 1\\ k'y = k'x + y -1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = \frac{-y + ky + 1}{k} \\ y = \frac{k' +y -1}{k'} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = 1\\ y = y - 1 \end{matrix}\right.

Sauf que là je vais tomber sur un magnifique y - y = 1 donc 0 = 1. J'ai dû rater une étape mais je ne sais pas laquelle.

Posté par
larrech
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 16:52

Je me suis mal fait comprendre.
Soit on tire de la première   x = \frac{-y + ky + 1}{k} et on porte cette valeur dans la seconde. On obtient alors une équation du 1er degré en y.

Soit, et c'est plus simple, en faisant la différence des deux équations :

(kx +y -ky - 1)-(k'x +y -k'y - 1)=0 dont on tire x=y qu'on reporte dans kx +y -ky - 1=0, ce qui donne y (étant entendu que {k}\neq{k'}

Posté par
Zery
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 18:45

Ok, alors en développant :
\left\lbrace\begin{matrix} kx+y-ky-1 = 0\\ k'x+y-k'y-1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} (kx+y-ky-1) - (k'x+y-k'y-1) = 0\\ k'x+y-k'y-1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} kx-k'x-ky+k'y = 0\\ k'x+y-k'y-1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} \frac{kx-k'x}{kk'} = \frac{ky-k'y}{kk'}\\ k'x+y-k'y-1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x - x = y - y\\ k'x+y-k'y-1 = 0 \end{matrix}\right.

Est-ce que je peux dire que x - x = y - y donc x = y ?

Posté par
larrech
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 19:00

La fin du calcul de la ligne du haut est erronée.

kx-k'x-ky+k'y = 0   \Longrightarrow  kx-k'x=ky-k'y  \Longrightarrow (k-k')x=(k-k')y  d'où x=y puisque  {k}\neq{k'}

Posté par
Zery
re : DM équations cartésiennes 07-02-18 à 21:39

D'accord, donc du coup vu que x = y :
\left\lbrace\begin{matrix} kx + x - kx - 1 = 0 \\ k'y + y - k'y - 1 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}\right.

Donc \Delta _{k} ~~ et ~~ \Delta '_{k'} sont sécantes en M(1;1) et on retrouve les coordonnées du point N(1;1).

Merci beaucoup pour votre aide !



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