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DM étudier l'intersection de droites
Bonjour, pouvez-vous m'aider pour mon exercice de DM ?
Sujet:
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A.
Les points Et,F et G sont définis par:
BE=2/5BC, CF=1/3CA, AC=3/4AB.
On se propose de démontrer que les droites (AE), (BF) et (CG) sont concourantes en un point I.
1. On se place dans le repère (A;AB;AC).
a) Expliquer pourquoi ce repère est orthonormé.
b) Déterminer les coordonnées des points A,B,C,E,F,G.
2. On note (x;y) les coordonnées du point I.
a) Monter que si I appartient à la droite (AE), alors : 2/5x - 3/5y=0
b) Montrer que si I appartient à la droite (BF), alors : 2/3(x-1)+y=0
c) Vérifier l'affichage obtenu avec un logiciel de calcul formel. Quelle est sa signification ? #
3. a) Démontrer que I appartient à la droite (CG).
b) Conclure. 
Bonjour,
les premières questions sont évidentes, (définition de "repère orthonormé", de "triangle rectangle isocèle", définition de coordonnées dans un repère)
alors où en es tu ? ("rien" n'étant pas crédible)
Il est orthonormé car B et C on la même origine A et une unité de 1.
A(0;0)
B(1;0)
C(0;1)
E(0.75;0.5)
F et G je sais pas ...
à...........................
B et C sont des points et n'ont pas "d'origine"
la vraie raison est que AB = AC et que l'angle en A est droit
l'unité est alors définie comme étant AB.
coordonnées de A,B,C OK
E est faux
pour obtenir les coordonnées de E, diverses méthodes :
la plus "intuitive" est de tracer explicitement les projections Ex et Ey de E sur les axes et d'utiliser Thalès
l'abscisse de E est AEx = EyE et l'ordonnée de E est AEy = ExE
la plus "méthodologique" est d'utiliser la définition vectorielle des coordonnées et la relation de Chasles
si tu as vu, c'est ça qu'il faut utiliser.
et il n'y a aucune raison de "savoir" (hum, on se demande) calculer E et de sécher pour F et G alors que ceux là justement sont évidents :
l'abscisse de G est AG par définition, exprimée avec AB comme unité de longueur, et son ordonnée est nulle, comme tout point de l'axe des abscisses (AB)
pour le point E , comme le préconise mathafou que je salue, utilise les vecteurs.
BE=2/5BC
les coordonnées du vecteurs BE sont (xE-xB; yE-yB)
les coordonnées de BC sont : (xC-xB;yC-yB)
tu as donc : xE-xB= 2/5(xC-xB) et yE-yB=2/5(yC-yB)
les coordonnées de G sont triviales de l'énoncé même.
on peut expliquer cela de façon vectorielle par (énoncé en corrigeant sa faute de frappe de ta copie)
comme A est l'origine (0; 0) l'abscisse de G est 3/4 de l'abscisse de B et l'ordonnée de G = 3/4 de l'ordonnée de B
en fait xG - xA = 3/4 (xB - xA) mais come xA = 0 ça fait xG = 3/4 xB
les coordonnées de F aussi (même raisonnement)
pour les coordonnées de E
la façon "intuitive" de voir ces coordonnées est que l'abscisse de E est aussi l'abscisse de Ex
c'est à dire la mesure de AEx avec AB pour unité
Thalès donne immédiatement BEx/BA = BE/BC = 2/5
et donc AEx/AB = 1 - 2/5
et pareil pour l'ordonnée (le même raisonnement, pas la même valeur, attention !!)
de façon vectorielle on peut obtenir les coordonées de E d'un seul coup par le vecteur BE
et donc "sur les abscisses" cela se traduit par :
xE - xB = 2/5 (xC - xB)
c'est à dire xE - 1 = 2/5 (0 - 1)
traiter cela comme une équation en l'inconnue xE donne l'abscisse xE de E : on retrouve xE = 1 - 2/5 = ...
et même méthode pour l'ordonnée.
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