A] Premiere partie :

Premiere question :

Ta fonction est définie sur ]0;+[ par :
g(x) = 1 + x² - 2x² ln x
g(x) = 1 + x (x-2xln x)   (1)
g(x) = 1 + x² (1-2ln x)   (2)

lim     x ln x = 0 (d'apres ton cours)
x->0+
lim     g(x) = 0   (1)
x->0+

lim      g(x) = -     (2)
x->+

Question 2 :

g est définie et dérivable sur ]0;+[

g'(x) = 2x - [(4x)(ln x) + (2x²)(1/x)]
g'(x) = -4x ln x    (x > 0)

-4x > 0 SSI x < 0
-4x < 0 SSI x > 0
ln x > 0 SSI x > 1
ln x < 0 SSI x < 1

g'(x) > 0 sur ]0;1[
g'(x) = 0 si x = 1
g'(x) < 0 sur ]1;+[

Tu as ensuite tes variations...

Question 3 :

La fonction est strictement croissante sur ]0;1[, a valeurs dans ]0;2].
Donc g(x) = 0 n'admet pas de solutions dans cet intervalle.
La fonction est strictement décroisssante sur ]1;+[,
a valeurs dans ]-;2].
Donc l'équation g(x) = 0 admet une seule et unique solution dans
cet intervalle. L'intervalle étant ]1;+[, la
solution a est strictement supérieur a 1. (a > 1)

On peut en déduire que g(x) est positif sur ]0;a] et négatif sur [a;+[.
Avec ta calculatrice, tu fait ton tableau de valeurs, et tu trouves :
f(1,8) 0,43
f(1,9) -0,24
Donc le changement de signe entre ces deux valeurs indique que la solution
de g(x) = 0 est caractérisée par :
1,8 x 1,9
Donc x 1,9    

Exercice 1.

A)
1)
g(x) = 1+x²-2x²ln(x)

g(x) = 1+x²(1-2ln(x))

lim(x-> oo) g(x) = oo*(-oo) = -oo
Avec lim(x-> 0) [x.ln(x)] = 0
-> lim(x-> 0) g(x) = 1
-----
2)
g '(x) = 2x - 4x.ln(x) - 2x
g '(x) = -4x.ln(x)

g '(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[ et donc g(x) est croissante.
g '(x) = 0 pour x = 1
g '(x) < 0 pour x dans ]1 ; oo[ et donc g(x) est décroissante.
Il y a un maximum de g(x) pour x = 1, ce max vaut g(1) = 2.
-----
3)
Avec lim(x-> 0) g(x) = 1
lim(x-> oo) g(x) = oo*(-oo) = -oo
et le tableau de variations de g(x), on conclut qu'il y a une et
une seule valeur de x dans ]1 ; oo[ qui annule f(x).
Notons a cette valeur de x.

On a donc:
g(x) > 0 pour x dans ]0 ; a[
g(x) = 0 pour x = a
g(x) < 0 pour x dans ]a ; oo[

Par approximations successives, on trouve a compris dans ]1,8  ; 1,9[
----------
B)
f(x)=(lnx)/(1+x²)

1)
lim(x-> 0+) f(x) = -oo
lim(x -> oo) f(x) = 0

2)
f '(x) = ((1/x)(1+x²)-2x.ln(x))/(1+x²)²
f '(x) = (1 + x² - 2x.ln(x) - 2x².ln(x)) / (x.(1+x²)²)
f '(x) = (1 + x² - 2x².ln(x)) / (x.(1+x²)²)
f '(x) = g(x)/ (x.(1+x²)²)
Et comme (x.(1+x²)²) > 0 pour x dans ]0 ; oo[, f '(x) a le signe
de g(x)
->
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; a[ -> f(x) croissante
f '(x) = 0 pour x = a
f '(x) < 0 pour x dans ]a ; oo[ -> f(x) décroissante.
Rappel: a est compris dans ]1,8  ; 1,9[

3)
f(a) = (ln(a))/(1+a²)  

mais on a f '(a) = 0 ->
1+a²-2a²ln(a) = 0
ln(a) = (1+a²)/(2a²)

-> f(a) = 1/(2a²)

4)
f(1) = 0
f '(1) = 1/2
D: (y - 0) = (x - 1).(1/2)
D: y = (1/2)x - (1/2)
----------
L'exercice 2 plus tard si j'ai le courage.  


Sauf distraction.

merci tiou et jp!!

B] Deuxieme partie :

Question 1 :

Ta fonction est définie sur ]0;+[ par :
f(x) = (ln x)/(1+x²)
f(x) = (ln x) / [x² (1 + 1/x²)]     (1)

lim     f(x) = - (pas de changement a faire)
x->0+

lim     (ln x) / (x²) = + (d'apres ton cours...)
x->+
lim     1 / [1+(1/x²)] = 1
x->+
lim     f(x) = +     (1)
x->+

Question 2 :

f est définie et dérivable sur ]0;+[
f'(x) = (1+x²-2x²lnx) / [x(1+x²)²]
Le dénominateur est toujours positif.
Le signe du numérateur est celui de la fonction g étudiée précédemment...

f'(x) > 0 sur ]0;1,9]
f'(x) = 0 si x = 1,9
f'(x) < 0 sur [1,9;+[

Et tu as ensuite tes variations...

Question 3 :

f(a) = (ln a) / (a²+1)


Question 4 :

T : y = f'(b)(x-b) + f(b)
T : y = f'(1)(x-1) + f(1)
f'(1) = 1
f(1) = 0
T : y = x -1

désolé d'avoir zappé la question 3, mais je ne voyais pas la solution
tout de suite, et je dois partir...
Je laisse un autre se charger de l'exo 2...

sauf erreurs de calcul...
a+

merci mais le pb est que tiou et jp n'ont pas les memes réponses
pour les limites.
et pour la tangeante.

Exercice 2

1) a)
f(x)=2x-6ln(1+(x²/5))

lim(x-> -oo) f(x) = -oo - 6.ln(1) = -oo - 0 = -oo
-----
b)
2x(1-6(lnx/x))- 6ln((1/x²)+(1/5))    n'existe que si x > 0
= 2x - 12.ln(x) - 6ln((5+x²)/(5x²))
= 2x - 6.ln(x²) - 6ln((5+x²)/(5x²))
= 2x - 6.ln(x²*(5+x²)/(5x²))
= 2x - 6.ln((5+x²)/5)
= 2x - 6.ln(1+ (x²/5))
= f(x)

et donc f(x) = 2x(1-6(lnx/x))- 6ln((1/x²)+(1/5)) si x > 0

lim(x-> oo) f(x) = oo(1-0) - (-oo) = oo + oo = +oo
-----
2)
f '(x) = 2 - 6.[(2x/5)/(1+(x²/5))]
f '(x) = [2 + (2x²/5) - 6(2x/5)] / (1+(x²/5))
f '(x) = (2/5).(x² - 6x+5)/(1+(x²/5))

et comme (1+(x²/5)) > 0 , f 'x) a le signe de (x² - 6x+5) = (x-1)(x-5)

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 1[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 1
f '(x) < 0 pour x dans ]1 ; 5[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 5
f '(x) > 0 pour x dans ]5 ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x = 1
Il y a un minimum de f(x) pour x = 5
-----
3)
f(0) = 0
f '(0) = 2
T: y = 2x
---
Pour la position de C par rapport à T, il faut étudier le signe de:
h(x) = f(x) - 2x
h(x) = 2x - 6.ln(1+ (x²/5)) - 2x
h(x) = - 6.ln(1+ (x²/5))

h(x) < 0 pour tout x de R sauf pour x = 0 où h(x) = 0

->  f(x) - 2x < 0
f(x) < 2x et donc C est en dessous de T pour tout x sauf en x = 0 où C
et T coïncident.
-----
Sauf distraction.

merci jp!!