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DM exponentielles

Posté par
caillou101
02-01-18 à 15:10

bonjour,
voici un exercice de mon  devoir que je ne parviens pas à terminer

Une entreprise fabrique chaque mois 𝑥 tonnes d'un certain produit, avec 𝑥 appartenant à l'intervalle[1 ; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers
d'euros pour une production mensuelle de 𝑥 tonnes est donné par 𝐶(𝑥) = 0,1𝑒𝑥+2 𝑥
1. A l'aide de la calculatrice ou du logiciel géogébra :
a. Conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle [1 ; 6]
b. Estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante
c. Dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
2. On désigne par 𝐶′ la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel 𝑥 de l'intervalle [1 ; 6] :
𝐶′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥 − 0,1𝑒𝑥 − 2 𝑥2
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1 ; 6] par :
𝑓(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥 − 0,1𝑒𝑥 − 2
On désigne par 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓
a. Vérifiez que pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l'intervalle [1 ; 6] :
𝑓′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥
b. Justifiez que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle [1; 6]
c. Justifiez que l'équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l'intervalle [1; 6]
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel 𝛼
d. Déduisez des résultats précédents le signe de 𝑓(𝑥) sur l'intervalle [1 ;6]
4. A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de 𝛼 tonnes du produit.

ce que j'ai trouvé:

1.a/ l'évolution du cout moyen de fabrication est croissante sur [1;6]
calculatrice:


    [td2.2718][/td]
1
21.3694
31.3361
41.8649
53.3682
67.0571

b/ le minimum du coût moyen est 1.3361 pour 3 tonnes d'un certain produit.
c/ je pense qu'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros puisque le maximum est de 7.0571. Cependant, je ne sais pas quelle est la démarche pour l'expliquer.

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 02-01-18 à 16:31

Bonjour

ex est différent de \text{e}^x
réécrivez le texte
à défaut de LaTeX  vous pourriez noter e^x

4000 est atteint entre 5 et 6

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 03-01-18 à 11:22

est ce correct comme cela? :
Une entreprise fabrique chaque mois 𝑥 tonnes d'un certain produit, avec 𝑥 appartenant à l'intervalle[1 ; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers
d'euros pour une production mensuelle de 𝑥 tonnes est donné par 𝐶(𝑥) = 0,1𝑒^𝑥+2/ 𝑥
1. A l'aide de la calculatrice ou du logiciel géogébra :
a. Conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle [1 ; 6]
b. Estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante
c. Dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
2. On désigne par 𝐶′ la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel 𝑥 de l'intervalle [1 ; 6] :
𝐶′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥 − 0,1𝑒^𝑥 − 2 /𝑥^2
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1 ; 6] par :
𝑓(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥 − 0,1𝑒^𝑥 − 2
On désigne par 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓
a. Vérifiez que pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l'intervalle [1 ; 6] :
𝑓′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥
b. Justifiez que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle [1; 6]
c. Justifiez que l'équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l'intervalle [1; 6]
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel 𝛼
d. Déduisez des résultats précédents le signe de 𝑓(𝑥) sur l'intervalle [1 ;6]
4. A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de 𝛼 tonnes du produit.

La réponse que j'ai donné pour la première question est-elle juste ?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 03-01-18 à 16:02

Bonjour

le texte est plus clair  mais il suffisait de réécrire les textes mathématiques

c(x)=0,1\text{e}^x+\dfrac{2}{x}

je ne trouve pas ces valeurs  parce que vous avez oublié les parenthèses

f(x)=\dfrac{0,1\text{e}^x+2}{x}

est-ce bien cette dernière forme ?DM exponentielles

la fonction n'est donc pas toujours croissante sur [1~;~6]

minimum en x=2.55 valant 1,287

f(x)=4\quad x=5,2462

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 03-01-18 à 18:34

ah oui en effet,
C(x)=(0,1e^x +2)/x

j'ai refais avec ma calculatrice et je trouve désormais les mêmes réponses que vous.
La fonction est décroissante sur [1;3] et croissante sur [3;6]?

Concernant, la question 2, il suffit simplement de dériver C(x)?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 03-01-18 à 18:44

oui  là aussi il doit manquer des parenthèses

à la question 3 on vous fait étudier le signe du numérateur

vous pouvez être plus précis 2.55 et non pas 3  certes c'est une lecture graphique mais

l'écran de la calculatrice n'est quand même pas réduit à un confetti

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 03-01-18 à 19:13

d'accord,

donc pour la question 3, je dois aussi dériver f(x)?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 03-01-18 à 19:26

oui  c'est bien la première demande de la question 3

puis le signe de f'  pour justifier d'une fonction strictement croissante sur l'intervalle

et ensuite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 04-01-18 à 14:33

donc je trouve que
f(x)=0,1xe^x - 0,1e^x-2
f'(x)=0,1 xe^x - 0,1e^x

je ne vois pas comment enlever le "-0,1e^x" pour obtenir f'(x)=0,1xe^x

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 05-01-18 à 14:32

vous oubliez la dérivée d'un produit

0,1x\text{e}^x est de la forme u(x)\times v(x)

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 06-01-18 à 16:41

donc la dérivée de 0,1xe^x est égal à 0,1e^x + 0,1xe^x
ainsi f'(x)= 0,1e^x + 0,1xe^x - 0,1 e^x -0 = 0,1 xe^x

concernant la question b) faut-il résoudre l'inéquation f'(x)0?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 06-01-18 à 16:51

ce dont vous avez besoin est le signe de f'(x)

vous pouvez donc dire que pour tout x\in[1~;~6]\;\ f'(x)>0 comme produit de réels strictement positifs

c)tvi

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 06-01-18 à 21:30

donc pas besoin de faire de tableau de variations ?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 00:32

le tableau non mais vous êtes bien obligé de tirer les conséquences de la dérivée positive

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 07-01-18 à 11:39

donc la fonction f est strictement croissante sur  [1;6]  car f'(x) est positif car 0,1 est supérieur à 0 et e^x est strictement positif ?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 11:44

oui ou tout simplement produit de réels strictement positifs comme je vous l'avais écrit
c) ?

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 07-01-18 à 14:22

c)
La fonction f est strictement croisante sur [1;6]. 0 est compris entre -2 et 199,71. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha dans [1;6].

Par méthode de balayage on a: \alpha\approx 2,55

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 14:30

\alpha \approx 2,55 soit 2,6

d) et 4 ?

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 07-01-18 à 14:58

d) f est donc croissante ?

4. le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de \alpha tonnes de production car \alpha est plus proche de 0?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 15:02

on vous demande le signe de f(x) pas le sens de variation d'ailleurs pour le tvi vous avez besoin de la stricte croissance

minimum du coût moyen  obtenu pour la dérivée de C nulle

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 07-01-18 à 17:29

f est positive ?

pour la question 4 je ne vois pas comment faire

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 17:54

il faut préciser les intervalles

signe de f(x)  

sur [1~;~\alpha[ \ f(x)<0

]\alpha~,~6] \ f(x)>0

question 4

les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule

C admet un minimum en \alpha  puisque C' (\alpha)=0 en changeant de signes le signe de C' est celui de f

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 07-01-18 à 21:32

je ne comprends pas la question 4, pourquoi la dérivée s'annule ?
les extrema sont -2 et 199,71?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 07-01-18 à 23:18

vous voulez un minimum  donc il faut bien qu'avant la dérivée soit négative et qu'après elle soit positive donc à un moment la dérivée s'annule

le minimum est en \alpha \approx 2.55

Posté par
caillou101
re : DM exponentielles 08-01-18 à 21:12

la dérivée de f?

Posté par
hekla
re : DM exponentielles 09-01-18 à 00:11

Citation :
4. A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de 𝛼 tonnes du produit.


vous avez calculé la dérivée de C

C'(x)=\dfrac{0,1x\text{e}^x-0,1\text{e}^x-2}{x^2} =\dfrac{f(x)}{x^2}

par conséquent le signe de C'(x) est le même que celui de f(x)

vous avez montré que f(x) s'annule pour \alpha que f(x) est négatif avant et positif après

donc C est une fonction strictement décroissante sur [1~;~\alpha[ et  strictement croissante sur ]\alpha~;~6]

C admet donc un minimum  en \alpha



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