bonjour,
voici un exercice de mon devoir que je ne parviens pas à terminer
Une entreprise fabrique chaque mois 𝑥 tonnes d'un certain produit, avec 𝑥 appartenant à l'intervalle[1 ; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers
d'euros pour une production mensuelle de 𝑥 tonnes est donné par 𝐶(𝑥) = 0,1𝑒𝑥+2 𝑥
1. A l'aide de la calculatrice ou du logiciel géogébra :
a. Conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle [1 ; 6]
b. Estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante
c. Dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
2. On désigne par 𝐶′ la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel 𝑥 de l'intervalle [1 ; 6] :
𝐶′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥 − 0,1𝑒𝑥 − 2 𝑥2
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1 ; 6] par :
𝑓(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥 − 0,1𝑒𝑥 − 2
On désigne par 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓
a. Vérifiez que pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l'intervalle [1 ; 6] :
𝑓′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒𝑥
b. Justifiez que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle [1; 6]
c. Justifiez que l'équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l'intervalle [1; 6]
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel 𝛼
d. Déduisez des résultats précédents le signe de 𝑓(𝑥) sur l'intervalle [1 ;6]
4. A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de 𝛼 tonnes du produit.
ce que j'ai trouvé:
1.a/ l'évolution du cout moyen de fabrication est croissante sur [1;6]
calculatrice:
1 | |
2 | 1.3694 |
3 | 1.3361 |
4 | 1.8649 |
5 | 3.3682 |
6 | 7.0571 |
Bonjour
est différent de
réécrivez le texte
à défaut de vous pourriez noter e^x
4000 est atteint entre 5 et 6
est ce correct comme cela? :
Une entreprise fabrique chaque mois 𝑥 tonnes d'un certain produit, avec 𝑥 appartenant à l'intervalle[1 ; 6]. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers
d'euros pour une production mensuelle de 𝑥 tonnes est donné par 𝐶(𝑥) = 0,1𝑒^𝑥+2/ 𝑥
1. A l'aide de la calculatrice ou du logiciel géogébra :
a. Conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle [1 ; 6]
b. Estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante
c. Dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
2. On désigne par 𝐶′ la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel 𝑥 de l'intervalle [1 ; 6] :
𝐶′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥 − 0,1𝑒^𝑥 − 2 /𝑥^2
3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1 ; 6] par :
𝑓(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥 − 0,1𝑒^𝑥 − 2
On désigne par 𝑓′ la fonction dérivée de la fonction 𝑓
a. Vérifiez que pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à l'intervalle [1 ; 6] :
𝑓′(𝑥) = 0,1𝑥𝑒^𝑥
b. Justifiez que la fonction 𝑓 est strictement croissante sur l'intervalle [1; 6]
c. Justifiez que l'équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 dans l'intervalle [1; 6]
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel 𝛼
d. Déduisez des résultats précédents le signe de 𝑓(𝑥) sur l'intervalle [1 ;6]
4. A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de 𝛼 tonnes du produit.
La réponse que j'ai donné pour la première question est-elle juste ?
Bonjour
le texte est plus clair mais il suffisait de réécrire les textes mathématiques
je ne trouve pas ces valeurs parce que vous avez oublié les parenthèses
est-ce bien cette dernière forme ?
la fonction n'est donc pas toujours croissante sur
minimum en valant 1,287
ah oui en effet,
C(x)=(0,1e^x +2)/x
j'ai refais avec ma calculatrice et je trouve désormais les mêmes réponses que vous.
La fonction est décroissante sur [1;3] et croissante sur [3;6]?
Concernant, la question 2, il suffit simplement de dériver C(x)?
oui là aussi il doit manquer des parenthèses
à la question 3 on vous fait étudier le signe du numérateur
vous pouvez être plus précis 2.55 et non pas 3 certes c'est une lecture graphique mais
l'écran de la calculatrice n'est quand même pas réduit à un confetti
oui c'est bien la première demande de la question 3
puis le signe de pour justifier d'une fonction strictement croissante sur l'intervalle
et ensuite appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
donc je trouve que
f(x)=0,1xe^x - 0,1e^x-2
f'(x)=0,1 xe^x - 0,1e^x
je ne vois pas comment enlever le "-0,1e^x" pour obtenir f'(x)=0,1xe^x
donc la dérivée de 0,1xe^x est égal à 0,1e^x + 0,1xe^x
ainsi f'(x)= 0,1e^x + 0,1xe^x - 0,1 e^x -0 = 0,1 xe^x
concernant la question b) faut-il résoudre l'inéquation f'(x)0?
ce dont vous avez besoin est le signe de
vous pouvez donc dire que pour tout comme produit de réels strictement positifs
c)tvi
donc la fonction f est strictement croissante sur [1;6] car f'(x) est positif car 0,1 est supérieur à 0 et e^x est strictement positif ?
c)
La fonction f est strictement croisante sur [1;6]. 0 est compris entre -2 et 199,71. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans [1;6].
Par méthode de balayage on a: 2,55
d) f est donc croissante ?
4. le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de tonnes de production car est plus proche de 0?
on vous demande le signe de pas le sens de variation d'ailleurs pour le tvi vous avez besoin de la stricte croissance
minimum du coût moyen obtenu pour la dérivée de C nulle
il faut préciser les intervalles
signe de
sur
question 4
les extrema sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule
admet un minimum en puisque en changeant de signes le signe de est celui de
vous voulez un minimum donc il faut bien qu'avant la dérivée soit négative et qu'après elle soit positive donc à un moment la dérivée s'annule
le minimum est en
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