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DM fonction 3eme degré rampe

Posté par
rainbow2
24-12-17 à 15:15

Bonjour, j'espère que vous passez de bonnes fêtes de noël!
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce au sujet d'un DM que j'ai pour la rentrée. Je vous écris le sujet:

On veut construire une rampe pour handicapés permettant de descendre une marche de hauteur 1 ; trouver une courbe permettant le tracé de la rampe de sorte qu'il n'y ait pas de point anguleux et que la pente maximale de la rampe soit de 10% ; on cherche l'emprise au sol de la rampe (la longueur 2l).

1) On choisit la fonction f représentant la rampe sous la forme f(x)= ax^3+bx^2+cx+d dans le repère indiqué sur la figure.
Justifier que les conditions de f sont alors:
* f(0)=1 ; f'(0)=0
* f(2l)=0 ; f'(2l)=0
* f(l)=1/2 ; \left|f'(l) \right|\leq 0.1

Pour cette question, j'ai répondu ceci:
* f(0)=1 car la courbe passe par A(0;1) et on a: a\times 0^3+b\times 0^2+c\times 0+d=1 donc d=1
* f'(0)=0 car on a= 3a\times 0^2+2b\times 0+c, avec c=0
* f(2l)=0 car la courbe passe par B(2l;0) et donc f(2l) donne forcément 0
* f'(2l)=0 car si la fonction est nulle, sa dérivée aussi.
* f(l)=1/2, on cite la propriété: Pour toute courbe du 3eme degré située entre deux tangentes horizontales, la pente maximale est au point d'inflexion au milieu des deux sommets.
On a donc bien l'extremum en I (voir schéma), là où la pente est maximale.
* \left|f'(l) \right|\leq 0.1 car le point I est l'endroit où la pente est maximale. On peut donc dire que la pente est en valeur absolue. De 10%, c'st à dire 0.1.


Déduisez-en les coefficients a, b, c, et d en fonction de l. Appliquez la dernière condition pour donner une valeur minimale de l. Quelle est alors l'emprise minimale?

2) On choisit une fonction de la forme f(x)= a\cos (bx+c). Refaire le même travail.

3) Conclure.

Je suis bloquée à partir de la deuxième question du petit 1), je suis en terminale et nous n'avons pas du tout vu ceci en classe, je ne comprends vraiment pas du tout comment résoudre cet exercice. Pouvez-vous m'aider? Merci beaucoup !

DM fonction 3eme degré rampe

Posté par
Priam
re : DM fonction 3eme degré rampe 24-12-17 à 15:32

Une remarque : il ne faut pas dire " si une fonction est nulle, sa dérivée aussi ".
Une fonction peut être nulle sans que sa dérivée le soit.
Pense au point de l'axe des abscisses où la courbe représentative d'une fonction traverse cet axe; en ce point, la fonction est nulle, mais non sa dérivée, qui peut avoir toute valeur selon l'angle de traversée de la courbe.

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 24-12-17 à 15:53

***citation inutile supprimée***

Oh d'accord, mais du coup comment montrer que la dérivée de 2l est nulle?

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 24-12-17 à 16:19

Bonjour,

ne pas confondre des propriétés à démontrer (d'une courbe déja parfaitement connue)
et des propriétés désirées d'une courbe inconnue (avec des a,b,c,d inconnus)

ne pas confondre les deux parties de la question :

justifier par les propriétés désirées que ce que l'on veut avoir c'est ...
on veut que la courbe passe par (2L; 0) donc on veut que f(2L) = 0 et c'est tout (pas de a,b,c là dedans)
(j'écris L pour ne pas risquer de confondre avec "un", 1)

on veut que la tangente en ce point soit horizontale
donc on veut que f '(2L) = 0 et c'est tout (pas de a,b,c ... là dedans) etc

et c'est tout, pas de a, b, etc dans cette partie de question

et ensuite (deuxième partie de la question) : en déduire (de ces souhaits) les valeurs de a,b,c etc
et là maintenant on traduit ces conditions en termes de relations entre a,b,c ...

toi tu mélanges tout ensemble, alors après tu ne t'y retrouves plus dans ce qu'on te demande vraiment.

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 09:23

***citation inutile supprimée***
Oula ouais je comprends vraiment rien du tout du coup

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 13:05

1ere partie de la question :
justifier que ce qui est écrit RIEN DE PLUS

* f(0)=1 car on veut que la courbe passe par A(0;1)   point barre (pas de "a" ni rien là dedans)
* f '(0)=0 car on on veut que la tangente en A soit horizontale (idem)
* f(2l)=0 car on veut que la courbe passe par B(2l;0) point barre
* f '(2l)=0 car on on veut que la tangente en B soit horizontale
* f(l)=1/2, on cite la propriété: Pour toute courbe du 3eme degré située entre deux tangentes horizontales, le point au milieu des deux sommets appartient à la courbe. (oui, mais c'est vraiment vu en cours ça ???, et la pente n'a rien à voir là dedans)
ceci n'est pas une vraie condition car elle est "automatiquement" satisfaite car c'est une propriété générale des courbes du 3ème degré.

* \left|f'(l) \right|\leq 0.1 car le point I est le point d'inflexion, l'endroit où la pente en valeur absolue est maximale. (c'est là qu'elle intervient, la pente)
et on veut que la pente soit partout inférieure à 10% en valeur absolue

ceci traduit les souhaits, ce que l'on veut obtenir de cette rampe, le "cahier des charges"

deuxième partie de la question :
pour satisfaire à ces souhaits, on va les traduire en termes de coefficients de l'équation de la courbe
f(0)= 1 : a\times 0^3 + b\times 0^2 + c\times 0 + d = 1
c'est à dire d = 1

f '(0)=0 : 3a\times 0^2 + 2b\times 0 + c = 0
c'est à dire c = 0

* f(2l)=0 on sait que c = 0 et d = 1, on remplace déja, ça simplifiera les calculs

8a l^3 + 4b l^2 + 1 = 0


*f '(2l)=0
12a l^2 + 4b l = 0
se simplifie en (l est tout de même ≠ 0 !!)
3al+b = 0

f(l)=1/2 on s'en fiche (déja dit, c'est une propriété générale)

il reste donc à résoudre en fonction de l le système en les inconnues a et b :

\left\{\begin{array}l 8a l^3 + 4b l^2 + 1 = 0
 \\ 3al+b = 0\end{array}
(on reporte b = -3al dans la première équation etc)

puis on exprime le dernier souhait :
|f'(1/2)| \le 0.1
|3a\times (l/2)^2 + 2b\times(l/2)| \le 0.1

ce qui puisque a et b sont connus en fonction de l est une inéquation en l à résoudre.
(dans ]0 +oo[, les valeurs négatives de l sont à rejeter)

à toi pour continuer.

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 13:47

***citation inutile supprimée***
je vais étudier ceci, merci beaucoup

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 13:54

citer intégralement un message auquel on répond est NUISIBLE à la lecture de la discussion
et donc ne jamais le faire

on ne cite que des extraits et encore, vu que tout est lisible au dessus !!
l'usage des fonctions de citation doit être exceptionnel
par exemple pour citer un extrait de message (quasiment jamais un message entier) situé bien plus haut dans la discussion etc

pour répondre c'est le bouton "Répondre" et pas un autre.

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 14:12

D'accord pas de soucis, Ecole

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 14:12

Désolée *

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 18:01

Vous avez écrit cela

mathafou @ 26-12-2017 à 13:05


* f(2l)=0 on sait que c = 0 et d = 1, on remplace déja, ça simplifiera les calculs

8a l^3 + 4b l^2 + 1 = 0


*f '(2l)=0
12a l^2 + 4b l = 0
se simplifie en (l est tout de même ≠ 0 !!)
3al+b = 0


Or je l'ai refait, je ne comprends pas comment vous arrivez à ces deux résultats, pouvez vous m'expliquer? Je ne trouve pas la même chose en remplaçant par exemple seulement x par 2l dans l'équation de départ

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 18:18

f(x) = ax^3+ bx^2 + cx + d
on remplace x par 2l, c par 0 et d par 1 (c et d que l'on connait déja)
pour obtenir f(2l) = a\times (2l)^3 + b\times(2l)^2 + 0\times (2l) + 1 = a\times 2^3 \times l^3 + b\times 2^2 \times l^2 + 1 = 8al^3 + 4al^2 + 1
or on veut que  f(2l) = 0
donc  8al^3 + 4al^2 + 1 = 0

même principe pour l'autre
calculs élémentaires par simple remplacements et application des règles de calculs (A\times B)^n = A^n\times B^n etc

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 18:22

faute de frappe en s'escrimant sur la LaTeX :

f(2l) = a\times (2l)^3 + b\times(2l)^2 + 0\times (2l) + 1 = a\times 2^3 \times l^3 + b\times 2^2 \times l^2 + 1 = 8al^3 + 4{\red b}l^2 + 1
faute recopiée par copier coller en
donc  8al^3 + 4{\red b}l^2 + 1 = 0

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 18:36

Ohhh merci j'ai compris! Je ne comprenais pas pourquoi on trouvait 8a mais c'est parce que en n'avais pas mis le 2 au cube aussi ! Merci!

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 18:53

Désolée de vous déranger encore, c'est pour la suite, j'ai réussi le système à deux inconnues, mais pour le dernier souhait, plus petit que 0,1, j'ai essayé par deux méthodes et je trouve 1,5, supérieur donc faux, et je ne sais pas comment résoudre l'autre
J'arrive à | 3/16l^3 - 3/4l^2 | \leq 0,1
Et je ne sais pas comment faire par la suite pour montrer que ceci est en effet inférieur ou égal à 0,1

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 19:11

"1.5 supérieur" ça ne veut rien dire du tout.

au passage je me suis un peu mélangé les pinceaux entre l/2, l et 2l
le point I c'est l, pas l/2

je remets corrigé mon message de  13:05

Citation :
puis on exprime le dernier souhait :
|f'({\red l})| \le 0.1
 \\ |3a\times ({\red l})^2 + 2b\times({\red l})| \le 0.1


J'arrive à | 3/16l^3 - 3/4l^2 | \leq 0,1

est faux
mais va savoir ce que tu as calculé pour arriver à ça

encore faudrait-il que tes a et b soient déja justes !!
Citation :
j'ai réussi le système
oui et ??? comme tu ne donnes pas tes résultats ...
ni tes calculs pour traduire la condition sur la pente

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 19:18

PS

Citation :
pour montrer que ceci est en effet inférieur ou égal à 0,1
et tu recommences

il ne s'agit pas du tout de montrer que c'est inférieur !!!

la condition "être inférieur" est un SOUHAIT
on veut que ce soit inférieur
et ceci impliquera qu'on ne pourra pas choisir l comme on veut
mais que l ne pourra prendre que "certaines valeurs"
(intuitivement que l doit être plus grand qu'une certaine limite, pour "aplatir" suffisamment la courbe, que si l est trop petit la pente en I sera trop grande pour ce qu'on VEUT obtenir)

il s'agit donc de résoudre cette inéquation en l'inconnue l

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 19:19

J'aimerais vous poster mes calculs mais mon ordinateur est hors d'utilisation pour le moment, et je ne peux pas vous prendre ma feuille en photo, d'après les règles du topic

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 19:29

les calculs c'est du texte ...

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 19:56

C'est bien pour ça que je ne peux pas prendre en photo
Après re calculs, je trouve: |3/4l - 3/4l | \leq 0,1

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 20:03

ce que je voulais dire c'est que du texte, ça peut se taper au clavier, que ce soit des calculs ou pas

toujours faux (et toujours pas donné tes résultats pour a et b ...)

attention aussi en écrivant :

3/4l ne veut pas dire 3/(4l) mais (3/4)l,  Latex ou pas.
(c'est la priorité des opérations, vue en collège : on divise 3 par 4, puis le résultat on le multiplie par l,
de gauche à droite car division et multiplication ont la même priorité)

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 20:11

D'accord je ne comprends pas mes erreurs alors. Je sais que je peux taper sur le clavier mais sur téléphone c'est assez dur et ça bug souvent donc je préfère vous écrire un message clair par ordinateur. Je pourrais l'ecrire demain matin au plus tard tout en détail pas de soucis, avec tous mes calculs !

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 26-12-17 à 20:26

mettre "les grandes étapes" permettrait déja de savoir dans quelle partie il faut se concentrer !

a = ???
b = ???

(deux lignes à taper, en pur texte, ça fait la 3ème fois que je te demande ces résultats là ...)
mais, bon, pas de soucis si tu reportes çà demain ...

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 10:11

Bonjour! Voici donc mes calculs !
Pour trouver a, je reporte b=-3al dans la première équation
Ca donne:
8al^3+4\times (-3al)\times l^2+1=0
8al^3-12al^3+1=0
-4al^3=-1
a= \frac{-1}{-4l^3} soit a= \frac{1}{4l^3}

Ensuite j'ai placé le a trouvé dans la deuxième équation pour trouver b:
3\times \frac{1}{4l^3}\times l+b=0
\frac{3}{4l^3}\times l+b=0
\frac{3}{4l^2}+b=0
b= \frac{-3}{4l^2}

Voila pour les résultats a et b

Par la suite j'ai fais ca:
Pour la dernière condition:
\mid f'(l)\mid \leq 0.1
\mid 3a\times (l)^2+2b\times (l)\mid \leq 0.1
\mid 3\times \frac{1}{4l^3}\times (l)^2+2\times \frac{-3}{4l^2}\times (l)\mid \leq 0.1
\mid \frac{3}{4l}+\frac{-3}{4l}\mid \leq 0.1

Et je ne sais pas comment faire pour trouver l par la suite. Merci beaucoup!

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 10:31

2 fois -3/4 ne fait pas -3/4

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 12:22

Oui pardon, ça fait donc -3/(2l)

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 12:26

Ensuite, j'ai donc | 3/(4l) + -3/(2l) | \neq 0,1
Je dois faire comment ensuite?

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 12:26

Pas différent mais inférieur ou égal à *

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 12:42


réduire au même dénominateur, simplifier, supprimer la valeur absolue selon le signe (trivial) de ce qu'il y a dedans, résoudre l'inéquation ordinaire obtenue.
tu dois être capable de prendre ce genre d'initiatives pour résoudre des équations / inéquations ...

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 16:42

Je trouve bien l inférieur ou égal à 0,1
Mais en quoi cela nous permet de trouver une valeur minimale de l et l'emprise minimale?

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 27-12-17 à 18:57

Je trouve bien l inférieur ou égal à 0,1

complètement absurde, doublement
d'abord on ne trouve pas quoi que ce soit < 0.1
on veut que |f '(l)| < 0.1
pour cela il faut que l soit > une certaine valeur

et affirmer l < à quoi que ce soit, fut-ce 0.1, est faux
mais comme tu ne mets toujours pas tes calculs ...

on en était là :

résoudre l'inéquation
| 3/(4l) + -3/(2l) | ≤ 0.1

tu ne l'as pas fait du tout sinon tu trouverais bien l > quelque chose

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 28-12-17 à 10:00

J'ai fait:
\mid \frac{3}{4l}+\frac{-3}{2l}\mid \leq 0.1
\mid \frac{3}{4l}+\frac{-6}{4l}\mid \leq 0.1
\mid \frac{-3}{4l}\mid \leq 0.1
\frac{3}{4l} \leq 0.1
\frac{3}{l} \leq 0.4
l \leq \frac{0.4}{3}
l \leq 0.1

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 28-12-17 à 10:34


\dfrac{3}{4l} \leq 0.1    jusque là c'est bon

\dfrac{3}{l} \leq 0.4     oui

l \leq \dfrac{0.4}{3}     faux

l \leq 0.1     doublement faux car de toute façon 0.4/3 ne fait pas 0.1

\dfrac{3}{l} \leq 0.4 \Rightarrow   {\red \dfrac{1}{l}} \leq \dfrac{0.4}{3}

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 28-12-17 à 11:05

Très bien, j'ai donc ceci:
\frac{1}{l}\leq \frac{0.4}{3}
\frac{1}{l}\times l\leq \frac{0.4}{3}\times l
1\leq \frac{0.4}{3}\times l
3\leq 0.4\times l
\frac{3}{0.4}\leq l

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 28-12-17 à 11:30

oui (mais bien compliqué comme étapes de passer un truc un coup à gauche un coup à droite pour le ramener à gauche... ),
et ça fait bien l supérieur à 3/0.4  (=7.5) pour que la pente soit < 0.1
ce qui est cohérent avec l'intuition, que si l est trop petit (< cette valeur) la rampe sera trop raide.

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 28-12-17 à 11:50

OHhh d'accord j'ai compris merci!

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 22:19

Bonsoir, je vous recontacte au sujet de la question 2 de l'exercice, que j'ai écrite dans le sujet. Il faut donc refaire le même travail avec la deuxieme fonctiona\cos (bx+c)

J'ai fais ceci avec un camarade de classe (je n'ai pas refait les conditions initiales):
f'(0)=0
On dérive la fonction de type (f(ax+b))'
Cela donne
af'(ax+b)
Pour cette fonction là on trouve: a\times (b\times (-\sin (bx+c)))
On fait:
a\times (b\times (-\sin (b\times 0+c)))=0
Donc soit a=0, soit b\times (-\sin c)=0
Ce qui signifie qu'on a: soit a=0, soit b=0, soit c=0 car -\sin 0=0
Ensuite, une fois qu'on a cette condition, mon camarade a regardé pour la condition f(0)=1, et il pense que a=1, et b,c sont égaux à 0. Car en effet, cela donnerait:
1\times \cos c=1


Malheureusement, une fois que j'ai ceci, je ne sais pas comment bien le traduire et l'expliquer, ni si ceci est juste, est comment faire pour vérifier les autres conditions (avec 2l par exemple). Je ne comprends pas trop car dans la pemière partie on avait des équations à résoudre, et avec cette fonction je n'en trouve pas, et je pense que ceci est faux.
Merci de votre aide.
Bonne soirée

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 22:48


l'énoncé est sans doute faux, ou mal lu, ou mal recopié, car les points où a*cos(bx+c) s'annule (point B) ne sont jamais à tangente horizontale.

mieux serait a*cos(bx) + c

a = 0 ou b = 0 serait absurde car la fonction serait constante
f '(0) est donc toujours = 0 sans condition supplémentaire : toutes les fonctions a*cos(bx+c) ont une tangente horizontale en x = 0

par contre f(0) = 1 = a+c est une des conditions à respecter

et f(2l) = 0 et f '(2l) = 0 pour trouver les deux autres relations donnant le système de 3 équations en 3 inconnues a,b,c
(la première étant a+c = 1)

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 23:02

Ah oui, je comprendrais mieux en effet, seulement j'ai demandé à ma prof de maths la dérivée de cette fonction elle ne m'a pas rectifié. Je vais essayer de lui renvoyer un mail en espérant que l´enonce soit faux. Merci beaucoup, je vous redirais si j'ai des difficultés

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 23:40

toute fonction f(x) = a*cos(bx+c) a cette allure là :
DM fonction 3eme degré rampe
a "règle" l'amplitude
b la période
c le décalage horizontal (la phase)

par contre les fonctions a*cos(bx) + c ont celle ci lorsque c = a

DM fonction 3eme degré rampe
a règle toujours l'amplitude et b la période
c règle le décalage vertical

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 23:42

deuxième figure pas passée  et remplacée par le titre de la discussion
(pb Internet : elle était là quand j'ai cliqué sur Poster)

DM fonction 3eme degré rampe

Posté par
mathafou
re : DM fonction 3eme degré rampe 12-01-18 à 23:44

ah bein si elle était passée finalement ...
bizarre l'affichage du site par moments...

Posté par
rainbow2
re : DM fonction 3eme degré rampe 13-01-18 à 08:21

Ohhhh d'accord Merci

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