Bonjour

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Ah c'est embêtant
Je vais recopier

V.19.  Fonction arctangente
On adınet l'existance d'une fonction f définie et dérivable sur R. vérifiant f (0) = 0 et f '(x) = 1/(1+x²).
On va montrer dans la suite que f est la fonction arctangente.  
1. (a) Montrer que la fonction g:x--->f (x) + f (-x) est dérivable puis calculer sa dérivée.  (b) Calculer g (0).  En déduire que f est impaire.  
2(a) Montrer que la fonction h: x--->f(x) +f(1/x) est dérivable sur R: puis calculer sa dérivée.  
(b) En déduire l'existence d'une constante c telle que f (x) + f (1/x) = (c) pour x>0.
  (c) Prouver que lim x--->+infini f(x) = c.  
3)  on considére la fonction u, définie sur  
]-pi/2;pi/2[ par u(x) = tan(x)
a) Montrer que la fonctionC:x--->(∫°u)(x)-x est derivable sur]-pi/2;pi/2[ puis calculer sa dérivée.
(b) Calculer C(0).  En déduire que pour tout x de]-pi/2;pi/2[ on a f(tan(x) =x
c) Calculer Ia valeur exacte de f (1) et en déduire le valeur exacte de c.
4. (a) Etudier le sens de variation de f sur R. et dresser son tableau de variation.
(b) qtracer la courbe de f. Préciser auparavant les asymptotes horizontales et la tangente à l'origine.

Ok.
Donc tu en es où ? Les premières questions c'est vraiment pas dur, si ?

Et bien pour la question 1a je dois calculer la primitive de 1/1+x²  mais je ne sais pas comment m'y prendre

Vu ton titre, tu devrais savoir qu'une primitive de 1/(1+x²) est arctan x.

Ce n'est pas ce que nous devons montrer par la suite ?

Bonjour,

la question 1) a) ne te demande pas de primitiver   au contraire, tu as juste à dériver (en justifiant pourquoi c'est dérivable...) en appliquant les règles de dérivations bien connues.

OK donc on a f'(x) =1/(1+x²)   et f'(-x) =1/(1+(-x)²)
Donc g'(x)=f'(x) + f'(-x) =1/(1+x²)+1/(1+(-x)²)?

Ta dérivée f'(-x) est fausse... c'est quoi la règle de dérivation d'une composée de fonctions ?

(f o h)' = ...

avec h(x) = -x

Euh (f o h) ' = f' (h(x)) * h'(x)?

Oui, donc en remplaçant par les valeurs ?

Du coup
(f o h) ' = f' (-x) *(-x) '
=-(f' (-x))
Mais j'ai sûrement du me trompé non ?

Pourquoi tu te serais trompé ? Tu n'as pas fini, tu connais la forme de f'.

C'est donc-1/(1+x²)?

Lepetitpinson

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