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DM fonction exponentielle

Posté par
namande 31-12-16 à 16:06

Bonjour, j'ai un dm de math à faire sur les fonctions exponentielles seulement je n'arrive pas à faire un des exercices du dm donc j'aimerais avoir de l'aide. Merci d'avance et bonne fête de fin d'année !
Le sujet :
1. Un encadrement de e
     Soit n?2 un entier naturel, et soit f et g les fonctions définies sur [0;1] par:
     f(x)= e^(-x) (1+x/1!+x^2/2!?+x^n/n!)
     g(x)=f(x)+e^(-x)  x^n/n!
     Rappel: Pour tout k appartient à N*, k!=1x2x...xk.
           a. Déterminer le sens de variation de f et de g et en déduire que f(1)<1 et que g(1)>1.
           b. En déduire l'encadrement de e: 1+ 1/1!+1/2!+?+1/n!<e<(1+1/1!+1/2!+?+1/n!)+1/n!

2. Irrationalité de e
     Supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e= p/q et q?2
           a. Montrer que q!e est alors un entier.
           b. Justifier que si k est un entier tel que 1?k?q, alors q!/k! est un entier.
           c. Ecrire l'encadrement de la question 1)b) pour n=q puis le multiplier par q! En déduire que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
           d. Que peut-on en conclure ?

** image interdite supprimée **

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 16:45

Bonjour,

1)a) Il faut calculer f'(x) et g'(x); l' as tu fait ?

Posté par
malou Webmasterre : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 17:00

namande, mets ton profil à jour stp
merci (modérateur)

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 17:30

Oui j'ai essayé de calculer f'(x) mais je ne suis vraiment pas sûr de mon résultat :
f' (x)=(-e^(-x) )*(1+x/1!+x^2/2!+⋯+x^n/n!)+(e^(-x) )*(1+x+⋯+(nx^(n-1))/n!)
f' (x)=e^(-x) (-1-x/1!-x^2/2!-…-x^n/n!+1+x+⋯+(nx^(n-1))/n!)
f' (x)=e^(-x) (-x/1!-x^2/2!-…-x^n/n!+x+⋯+(nx^(n-1))/n!)

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 17:53

Citation :
f' (x)=e^(-x) (-x/1!-x^2/2!-…-x^n/n!+x+⋯+(nx^(n-1))/n!)


Oui mais remarque que \dfrac{n}{n!}=\dfrac{1}{(n-1)!}

et on a le même genre de chose dans les ...

Bref, tu as ceci:

f'(x)=e^{-x}\left(-1-\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^2}{2!}-\cdots -\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}-\dfrac{x^n}{n!}+1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)

Si bien que f'(x)=-\dfrac{x^n}{n!} \,e^{-x}\leq 0 sur [0,1]

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 18:10

Cela voudrait donc dire que g'(x)=0 ?

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 18:22

Ah non! Tu confonds fonction et dérivée.

g(x)=f(x)+\dfrac{x^n}{n!}\,e^{-x}

Maintenant, on dérive:

g'(x)=\underbrace{f'(x)}_{\text{On connait}}+\text{ la dérivée d' un produit }

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 19:20

ah oui exact ! Je corrigerais ma faute demain car l'heure est à la fête ! Encore merci et j'aurais surement encore besoin pour faire la suite ! Bonne soirée et bon réveillon !

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 31-12-16 à 20:23

Bon réveillon à toi namande

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 12:56

Bonjour et bonne année !
Pour revenir au sujet de math, je ne comprend pas comment on passe de f'(x)=f'(x)=e^(-x)((-x/1!)-(x^2/2!)-...-(x^n/n!)+x+((nx^(n-1))/n! ))       à      f'(x)=-(x^n/n!)*e^(-x)

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 15:21

Citation :
f'(x)=e^{-x}\left(-1-\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^2}{2!}-\cdots -\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}-\dfrac{x^n}{n!}+1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right)


C' est pourtant clair non ?

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 16:11

Donc du coup, j'ai réussi à faire la question 1.a) et 1.b) avec une amie mais je reste toujours bloqué sur les questions de la partie 2 :
2. Irrationalité de e
     Supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e= p/q et q?2
           a. Montrer que q!e est alors un entier.
           b. Justifier que si k est un entier tel que 1?k?q, alors q!/k! est un entier.
           c. Ecrire l'encadrement de la question 1)b) pour n=q puis le multiplier par q! En déduire que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
           d. Que peut-on en conclure ?

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 16:29

2)a) Si e=\dfrac{p}{q}, alors q!e=(q-1)!p est un entier.

2)b) 1\leq k\leq q

   \dfrac{q!}{k!}=q(q-1)(q-2)\cdots (q-k+1) est un entier.

2c) Pour tout n entier naturel, on a:

1+\dfrac{1}{1!}+\cdots +\dfrac{1}{n!}< e<1+\dfrac{1}{1!}+\cdots +\dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{n!}

donc en particulier pour n=q:

1+\dfrac{1}{1!}+\cdots +\dfrac{1}{q!}< e< 1+\dfrac{1}{1!}+\cdots +\dfrac{1}{q!}+\dfrac{1}{q!}

On multiplie par q! les 3 membres de cette inégalité:

\underbrace{q!+\dfrac{q!}{1!}+\cdots +\dfrac{q!}{q!}}_{N}< q!e< \underbrace{q!+\dfrac{q}{1!}+\cdots +\dfrac{q!}{q!}}_{N}+1

N<q!e<N+1

Et un entier ne peut pas être compris entre deux entiers consécutifs.

Donc l' hypothèse e=\dfrac{p}{q} est fausse donc e est irrationnel.




Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 16:33

Je n'arrive pas à comprendre comment vous obtenez q!e=(q-1)!p   dans la question 1.a)

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 16:37

q!e=q!\dfrac{p}{q}=\dfrac{q!p}{q}=\dfrac{\cancel{q}(q-1)(q-2)\cdots 2\times 1\times p}{\cancel{q}}=(q-1)(q-2)\cdots 2\times 1\times p=(q-1)!p

Posté par
namandere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 17:51

Merci beaucoup

Posté par
lakere : DM fonction exponentielle 02-01-17 à 23:39


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