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Dm fonction exponentielle

Posté par
Hugodu44
21-10-19 à 12:04

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice.

Exercice 1:Refroidissement d'un four.

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de 1000°c
A la fin de la cuisson, il est éteint et il refroidit.
On s'intéresse à la phase de refroidissement du four, qui débute des l'instant où il est éteint. La température du four est exprimée en degrés Celsius
La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques des que sa température est inférieure à 70°c. Sinon les céramiques peuvent se casser.
On note t le temps, en heure, écoulé depuis l'instant où le fout a été éteint.
La température du four en degrés Celcuis à l'instant t est donnée par la fonction f définie, pour tout nombre réel t positif, par:

F(t) =a e^-t/5 +b, où à et b sont deux nombres réels.
On admet que f vérifie la relation suivante: f'(t) +1/5f(t)=4

Questions:
1) Déterminer les valeurs de A et b sachant qu'initialement, la température du four est de 1 000 °c, c'est à dire f(0)=1000

2)Pour la suite on admet que pour tout nombre réel positif t:f(t) =980 e^-t/5 +20

A) Donner à l'aide d' une observation graphique de la calculatrice la limite de f lorsque t tend vers + infini
B) étudier les variations de f sur [0;+ infini[. En déduire son tableau de variations.
C) avec ce modèle après combien de minutes le four peut-il être ouvert sans risque pour les céramiques ?
On montrera rigoureusement qu'il existe une unique valeur de t à partir de laquelle on peut ouvrir le four et l'on donnera un encadrement à la minute près de cet valeur.

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:08

bonjour

qu'as-tu commencé ?
sur quoi tu bloques ?

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:15

Bonjour,

J'ai commencé le première question.

J'ai fait le dérivé de f(t)
f(t)= a e^-t/5 +b
Je pense qu'il faut faire comme ça
f(t) =a e^-t/5 * - t/5

Je ne sais pas si c'est ça et je ne sais pas quoi faire après.

Merci de votre aide.

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:20

mets bien des ( ) pour préciser l'exposant

f(t)= a e^(-t/5) +b

f ' (t) =a e^-t/5 * - t/5

pourquoi le t en rouge est faux à ton avis ?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:21

f ' (t) =a e^(-t/5) * - t/5

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:22

ensuite, exploite cet énoncé : On admet que f vérifie la relation suivante: f'(t) +1/5f(t)=4

tu en déduiras b = ...

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:25

Je pense que le t en rouge est faux car j'ai déjà utilisé le t en faisant la dérivée

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:27

oui
tu dérives une forme a.t   par rapport à t  :  tu obtiens a tout seul.

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:30

Du coup c'est bien la formule f(x) =k*u'?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:32

précise ta pensée, je ne vois pas de quoi tu parles.

pour ma part, la dérivée que tu proposais (cf 12h20) était juste, sauf le t .

donc f '(t) = ...?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:34

rappel : (eu)' = u ' * eu

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:36

F'(t) =a e^(-t/5)*-1/5

Excusez moi je doit m'absenter pour déjeuner

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 12:39

oui, ce que tu peux écrire :    f '(t) = -\dfrac{1}{5}  a  e^{\frac{-t}{5}}

ou

f '(t) = -\dfrac{a}{5}  e^{\frac{-t}{5}}

bon appétit !
a+

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:18

Tout à l'heure vous m'avez dit.

(e^u) '=u' *e^u

Je comprend pas pourquoi u'=-1/5

Sinon après c'est noté f'(t)+1/5f(t)=4

Donc.-a/5 e^(-1/5)+1/5 (a e^(-t/5)+b)=4

-a/5 e^(-1/5) + a/5 e^(-t/5)+b/5=4

Les 2 premières parties s'annulent donc reste plus  que b/5=4

                                b=4*5
                                  b=20

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:19

Hugodu44 @ 21-10-2019 à 14:18

Tout à l'heure vous m'avez dit.
(e^u) '=u' *e^u
Je comprend pas pourquoi u'=-1/5


à quoi est égal u dans cet exercice ?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:22

oui, b=20

on a donc, pour le moment :  f(t) = a e^{\frac{-t}{5}} + 20

exploite la donnée : f(0)=1000   pour trouver a

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:30

U est égale à l'exposant-t/5

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:35

oui

et la dérivée de -t/5, c'est  ...?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:42

rappel : \dfrac{a}{b} = a * \dfrac{1}{b} ---- b non nul

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:43

Je ne sais pas

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:44

quelle est la dérivée de la fonction g(x) = mx ?

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:48

G'kxl=m*x'

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:51


regarde ton formulaire de dérivation.

si g(x) = m*x    alors  g '(x) = m      ----- le coefficient de x

donc, pour revenir à notre exo :

u(t) = \dfrac{-t}{5} = \dfrac{-1}{5} *t

u '(t) =...?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:54

Hugodu44 @ 21-10-2019 à 14:48

G'kxl=m*x'

si j'écris correctement ton message :

(kx)' = k * x'  = k   ------ car la dérivée de x par rapport à x, c'est 1

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:54

Donc g'(x) =m*1

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 14:59

oui
reprends l'exo à partir de mon message de 14h51

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:08

u'(x) =-1/5

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:09

oui,  tu es bien convaincu à présent ?

on poursuit ?

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:13

J'aurais plus fait (u'v-uv') /v^(2)

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:20

Hugodu44 @ 21-10-2019 à 14:18

Tout à l'heure vous m'avez dit.

(e^u) '=u' *e^u



Sinon après c'est noté f'(t)+1/5f(t)=4

Donc.-a/5 e^(-1/5)+1/5 (a e^(-t/5)+b)=4

-a/5 e^(-1/5) + a/5 e^(-t/5)+b/5=4

Les 2 premières parties s'annulent donc reste plus  que b/5=4

                                b=4*5
                                  b=20

-a/5 e^(-1/5)+ a/5 e^(-t/5)+b/5=4

Mais comment on sait que c'est pas
-a/5 e^(-1/5)+ (a e^(-t/5)) /5 +b/5

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:23

sur u(t) = \dfrac{-t}{5} ?

ben, c'est utiliser une tronçonneuse pour couper une brindille,
... mais tu peux, à titre exercice...
essaie, je corrigerai si besoin.

ensuite,
tu verrouilleras définitivement le cours qui dit que (kx)' = k
et plus généralement que  (ku)'= k u'

et aussi que  \dfrac{a}{b} = a * \dfrac{1}{b} ---- b non nul

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:24

ci dessus je répondais à ton message de 15h13

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:26

J'ai un fiche qui dit que ku=k*u'

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:28

Mais comment on sait que c'est pas -a/5 e^(-1/5)+ (a e^(-t/5)) /5 +b/5

Hugodu44, je veux bien...
mais il y a quand même longtemps que tu sais que \frac{a}{b}*c = \frac{ac}{b}

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:35

Hugodu44 @ 21-10-2019 à 15:26

J'ai un fiche qui dit que ku=k*u'  quelle fiche, précise


d'une façon générale,
dérivée de ku = (ku)' = k u'    oui, mais pas ce que tu écris.

cela signifierait que u=u'
==> un seul type de fonctions  remplit cette condition  ku=k*u' : les fonctions de la forme k*ex
donc pour u = ex

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:36

Et dernière question la dessus

carita @ 21-10-2019 à 15:28

-a/5 e^(-1/5)+ (a e^(-t/5)) /5 +b/5

J'ai dit qu'il restait que b/5 car les 2 autre s'annulent. Mais je vois pas pourquoi cela s'annulent car il y a l'exposant e^(-1/5)
Et e^(-t/5) donc c'est pas les mêmes

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:41

rappelle-moi l'expression de la dérivée :

f '(t) = ...?

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:43

F'(t) =a e^(-t/5)*-1/5

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:48

oui, donc il y a bien le "t" dans l'exposant

donc
f'(t)+1/5f(t)=4
-a/5 e^(-t/5)+1/5 (a e^(-t/5)+b)=4
b/5=4
b=20

ps : effectivement je n'avais pas relevé cette erreur au début,
la conclusion b=20 étant juste
désolée

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 15:59

OK maintenant pour calculer a

J'ai fait :  on sait que f(0)=1000

        Et-a/5 e^(-t/5)+a/5 e^(-t/5)+b/5=4

-a/5 e^(-t/5)+a/5 e^(-t/5)+b/5=4+1000

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:03

on sait que f(0)=1000   ----    oui, et à quoi est égal f(t) ?

donc f(0) = ....?

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:04

cf 14h22

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:11

F(0)=1000 e^(-t/5)+20

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:25

non

f(t) = a e^{\frac{-t}{5}} + 20

on exploite la donnée : f(0)=1000   pour trouver a

f(0) = 1000
...? = 1000

==> pour calculer f(0), on remplace t par 0

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:33

ae^(-0/5)+20=1000
a e^0+20=1000
a+20=1000
a=980

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:41

parfait
on trouve bien la fonction proposée pour la suite.

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:46

Merci j'ai vais devoir m'absenter plus de 1h30

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 16:48

pas de souci, je repasserai lire tes réponses.
merci d'avoir prévenu
a+

Posté par
Hugodu44
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 19:20

2)a L'orque t tend vers +infini, F tend vers 0

B) f(t) =980e^(-t/5)+20

    f'(t) =e^(-t/5)*-1/5

    f'(t) =-980/5 e^(-t/5)

Posté par
carita
re : Dm fonction exponentielle 21-10-19 à 19:33

2a) non
explique le détail de ton calcul

B) f(t) =980e^(-t/5)+20  
    f'(t) =e^(-t/5)*-1/5       ---- le 980 a disparu ?
    f'(t) =-980/5 e^(-t/5)  ---- ...bah non, il est là ^^

f'(t) =-980/5 e^(-t/5)  est juste, mais tu peux simplifier 980/5

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