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DM fonction exponentielle

Posté par
abcd7
20-05-20 à 11:28

**Bonjour**

Soit la fonction f définie, pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par :
f(x) = 4 x e- x.
1) Vérifier que pour tout réel x de [0;+[ : f '(x) = 4 (1 - x) e- x .(Faire apparaitre le
calcul détaillé )
2) a) Étudier le signe de (1 - x) pour x dans l'intervalle [0;+[
b) En déduire, selon les valeurs de x, le signe de f '(x).
3) Dresser le tableau de variation de f.
4) Calculer la pente de D la tangente à la courbe au point d?abscisse 0.
5) Tracer D et la courbe de f pour x [0;10].
6) Utiliser le graphique pour résoudre l?inéquation f(x) 1

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 11:41

Bonjour

Que proposez-vous ?  f(x)=4x\,\text{e}^{-x} Est-ce cela ?

il manque l'exposant et les parenthèses

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 11:45

hekla
Bonjour, oui c'est comme vous l'avez écrit

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 11:48

Quel problème pour la dérivée  ?

(uv)'=u'v+v'u \quad (\text{e}^u)'=u'\,\text{e}^u

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 11:54

hekla @ 20-05-2020 à 11:48

Quel problème pour la dérivée  ?

(uv)'=u'v+v'u \quad (\text{e}^u)'=u'\,\text{e}^u


Je ne comprend pas les fonctions exponentielles donc je ne comprend pas ce qu'il faut faire

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:05

Tu dois dériver la fonction, elle est de la forme uv, hekla t'a donné les deux formules utiles. Qu'est-ce qui te gène pour calculer cette dérivée ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:07

GlapionGlapion
Je comprend pas quoi remplacer par quoi.

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:09

Reprenons, f(x)=4x\,\text{e}^{-x} donc de la forme uv avec u = 4x et v = e-x

que vaut u' ? que vaut v' ? que donne la formule u'v+v'u ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:15

Glapion
u'= 4 et v'= -1xe-1x-1 ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:19

ton v' est un peu curieux hekla t'a dit que (\text{e}^u)'=u'\,\text{e}^u

tu veux dériver e-x donc u=-x, u'=-1 et ça donne simplement -e-x

Donc au final, ça donne quoi ce u'v+v'u ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:23

Glapion

u'v+uv'= 4e-x+ 4x*(-e-x)

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:25

Et donc ? si on mets 4e-x en facteur, est-ce que ça donne bien le résultat attendu de l'énoncé ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:28

Glapion

Oui ça donne 4(1-x)e-x

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:29

Super, passe à la suite. Je te laisse avec hekla qui est revenu je crois.

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:49

Glapion @ 20-05-2020 à 12:29

Super, passe à la suite. Je te laisse avec hekla qui est revenu je crois.


Merci

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:52

2)a  Des problèmes ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:53

Pour la question 2, je pense que (1-x) est négatif car x est dans l'intervalle [0;+[ donc x sera toujours positif donc si on remplace x par un nombre positif (1-x) sera négatif non ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:56

On résout  par exemple  1-x>0   d'où x<1

je vous laisse conclure.

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 12:59

hekla @ 20-05-2020 à 12:56

On résout  par exemple  1-x>0   d'où x<1

je vous laisse conclure.


Donc en fait (1-x) est toujours positif car x < 1?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:05

N'avez-vous jamais résolu d'inéquations ?

Si x\in[0~;~1[ alors 1-x  est strictement positif,

Si x\in]1~;~+\infty[ alors 1-x  est strictement négatif,

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:10

Donc ici (1-x) est strictement positif car x [0;1[ c'est ça ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:15

Cela dépend des valeurs de x  

sur l'intervalle [0~;~1[ il est strictement positif

si x>1 alors  il est strictement négatif

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:27

Donc (1-x) est strictement positif car x<1 or on étudie le signe de (1 - x) pour x dans l'intervalle [0;+[. Donc x ne peut que être égal à 0 or 1-0= 1.

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:37

??????????????

DM fonction exponentielle

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:42

hekla @ 20-05-2020 à 13:37

??????????????

DM fonction exponentielle


Je comprend pas, donc 1-x est positif puis négatif ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:56

Oui cela dépend comme je l'ai déjà écrit des valeurs de x. Il est même nul pour x=1


Ne citez pas cela ne sert à rien

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 13:58

D'accord merci.
Pour la 2)b)En déduire, selon les valeurs de x, le signe de f'(x).
Je pense que f'(x) est positif dans l'intervalle [0;1[ et négatif dans l'intervalle ]1;+[ ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:08

Évidemment puisque 4\,\text{e}^{-x} >0  sur l'intervalle

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:14


Par contre pour la 3)Dresser le tableau de variation de f.
je vois pas comment faire

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:16

Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.

Si pour tout x\in I,\:f'(x)< 0 alors f est  strictement décroissante sur I.

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:17

abcd7 @ 20-05-2020 à 14:14


Par contre pour la 3)Dresser le tableau de variation de f.
je vois pas comment faire


On doit prendre comme valeur de x 0, 1 et +?
On cherche le signe de 4x et e-x ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:26

Sur la première ligne du tableau  on va avoir cela x 0 1 +\infty
sur la deuxième ligne  le signe de f'(x) voir 13:58 ou 13:37
sur la troisième ligne les flèches  pour le sens de variation de f

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:34

D accord merci. Je doit aller à mon cours virtuel. Je vous recontacte plus tard

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 14:36

D'accord

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 16:48

Me revoilà. Donc pour la question 4)Calculer la pente de D la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. On fait :

y=f'(0)*(x-0) + f(0) ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:39

Si on vous demande une bouteille d'eau vous ne prenez pas toute la citerne !

On ne vous demande que le coefficient directeur de la droite  ou la pente  mais dans ce cas-là il faut un repère orthonormé au moins orthogonal

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:41

On peut pas calculer la pente avec la fonction f ou f' ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:44

Qu'est-ce que vous avez  écrit à 16 : 48
l'équation de la tangente en 0 à la courbe.   Dans cette écriture où est le coefficient directeur ou la pente ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:45

La pente vaut 0 ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:48

Je prends bien soin à chaque fois de préciser que la pente c'est le coefficient directeur de la droite.
Qu'est-ce que le nombre dérivé ?

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:52

f'(0) ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:57

Le nombre dérivé, s'il existe, de  f en a est le coefficient directeur  de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a .
Oui f'(0) c'est tout ce que l'on demandait.

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 18:59

Mais on doit pas calculer f'(0) ?
Dans ce cas sa fait
f'(0)=4(1-0)e-0
         =4

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:05

Pourquoi ne devez-vous pas calculer f'(0) ?
C'est pourtant ce que l'on vous demande.
  Après pour la tracer vous aurez peut-être besoin de l'équation  mais on ne vous le demande pas explicitement.

Oui  f'(0)=4

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:10

Donc f'(0) est la pente de D la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 et f'(0)=4.
Ok merci.
Pour la question 5)Tracer D et la courbe de f pour x [0;10]
je trace un repère avec un abscisse qui va de 0 à 10, je place D au point d'abscisse 4 et je fais monter la courbe jusqu'à 1 puis je la fais descendre?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:19

Non  4 est la « pente »  f(0)=0

de l'origine vous tracez une droite de pente 4 c'est-à-dire une droite passant par le point (1 ; 4)

On se déplace de 1 et on monte de 4

Pour tracer la courbe il faut  quelques points. Vous pouvez vous aider avec GeoGebra, sinequanon ou une calculatrice

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:23

exemple avec sinequanon

DM fonction exponentielle

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:24

Donc D sera ou point (1;4) ?
Par contre je ne sais pas tracer avec les logiciels ni la calculatrice. Il n'y aurait pas une méthode de calcule pour calculer quelques points ?

Posté par
hekla
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:30

  Il faudrait apprendre a u moins sur votre calculatrice

les points de la courbe sont ceux qui vérifient y= f(x)

donc vous calculez 4x\text{e}^{-x}  pour  x variant de 0 à 10 avec un pas de 0,5

Posté par
abcd7
re : DM fonction exponentielle 20-05-20 à 19:35

Ok c'est bon j'ai réussi merci mais du coup le point D sera en haut de la courbe ?

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