Bonjour,
Je suis en terminale et j'ai un dm à rendre pour la rentrée, entre autre sur les fonctions exponentielles et la géométrie dans l'espace. J'ai commencé mais je suis bloquée à la question d). Voici le sujet :

On désigne par fa la fonction définie sur R par fa(x)=1-e^-ax, où a>0 et Ca sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j).

Partie A :

Soit D la droite d'équation y=x.

1) Étudier le sens de variation de fa, ses limites en l'infini et vérifier que Ca passe par l'origine O.

2) On pose ga(x)=fa(x)-x
    a) Étudier les limites de ga en l'infini
    b) Montrer que ga admet un maximum en \beta \a=ln a/a; calculer ce maximum ma en fonction de a.
     c) Dresser le tableau de variation de g1, en déduire que la droite D coupe C1 en un seul point, vérifier que D est tangente à C1 en ce point.
     d) On suppose a différent de 1. montrer que ma est positif, en déduire que D coupe Ca en 2 points, O et un autre point dont on note a l'abscisse ; montrer que 0<alpha a<1 si a>1, et que alpha a<0 si 0<a<1.

Partie B:

On veut déterminer des valeurs approchées de alpha 2. Pour cela on considère la suite (Un) définie par U0=1 et la relation de recurrence Un+1=f2(Un)

1) a)Démontrer par récurrence que pour tout entier n, alpha 2<Un<1(on pourra utiliser le sens de variation de f2)
      b) Montrer que Un est décroissante;en déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.

2)a) Démontrer que ln2<alpha 2et que si x>ln2, alors 0<f'2(x)<1/2
     b) En utilisant le théorème d'intégration des inégalités, montrer que pour tout n, Un+1-alpha 2<1/2(Un-alpha 2) ; en déduire que pour tout n, Un-alpha 2<(1/2) ^n
     c) Comment suffit-il de choisir n pour que Un soit une approximation de alpha 2 a 10^-2 près ? Donner une approximation décimale.