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Niveau terminale
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Dm fonction exponentielle

Posté par
Didile18
30-12-20 à 14:03

Bonjour,
Je suis en terminale et j'ai un dm à rendre pour la rentrée, entre autre sur les fonctions exponentielles et la géométrie dans l'espace. J'ai commencé mais je suis bloquée à la question d). Voici le sujet :

On désigne par fa la fonction définie sur R par fa(x)=1-e^-ax, où a>0 et Ca sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j).

Partie A :

Soit D la droite d'équation y=x.

1) Étudier le sens de variation de fa, ses limites en l'infini et vérifier que Ca passe par l'origine O.

2) On pose ga(x)=fa(x)-x
    a) Étudier les limites de ga en l'infini
    b) Montrer que ga admet un maximum en \beta \a=ln a/a; calculer ce maximum ma en fonction de a.
     c) Dresser le tableau de variation de g1, en déduire que la droite D coupe C1 en un seul point, vérifier que D est tangente à C1 en ce point.
     d) On suppose a différent de 1. montrer que ma est positif, en déduire que D coupe Ca en 2 points, O et un autre point dont on note \alpha a l'abscisse ; montrer que 0<alpha a<1 si a>1, et que alpha a<0 si 0<a<1.

Partie B:

On veut déterminer des valeurs approchées de alpha 2. Pour cela on considère la suite (Un) définie par U0=1 et la relation de recurrence Un+1=f2(Un)

1) a)Démontrer par récurrence que pour tout entier n, alpha 2<Un<1(on pourra utiliser le sens de variation de f2)
      b) Montrer que Un est décroissante;en déduire qu'elle converge et déterminer sa limite.

2)a) Démontrer que ln2<alpha 2et que si x>ln2, alors 0<f'2(x)<1/2
     b) En utilisant le théorème d'intégration des inégalités, montrer que pour tout n, Un+1-alpha 2<1/2(Un-alpha 2) ; en déduire que pour tout n, Un-alpha 2<(1/2) ^n
     c) Comment suffit-il de choisir n pour que Un soit une approximation de alpha 2 a 10^-2 près ? Donner une approximation décimale.

Posté par
kenavo27
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:06

Bonjour
Qu'as tu fait?

Posté par
kenavo27
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:16

Écris l'expression  "fa(x)=1-e^-ax, " en utilisant des parenthèses

Posté par
Didile18
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:16

kenavo27 @ 30-12-2020 à 14:06

Bonjour
Qu'as tu fait?


1) Fa la fonction est forcément croissante puisqu'une exponentielle est strictement positive sur R. Et je l'ai démontré par la dérivée : f'a(x) = ae^-ax
La limite quand x tend vers l'infini est -l'infini et 1 quand x tend vers +l'infini.
Ensuite fa(0) =0 donc Ca passe par l'origine.

2) a) limite de ga(x) = -l'infini dans tous les cas, avec le théorème des croissances comparées.
b) J'ai calculer la dérivée de g'a(x) en 0, ce qui me donne x= ln a/a donc c'est bon.
Puis pour le maximum ma, j'ai calculer ga(beta a), ce qui me donne ma = 1-(1+ln a) /à
c) g1 croissant de -l'infini jusqu'à 0 puis decroissant jusqu'à + l'infini. J'ai calculé g1(0), qui me donne 0 donc D Coupe C1 en x=0 et y=0.C'est bien une tangente car y=x quand je fais l'équation.


Et c'est à partir de là que je n'arrive pas à montrer que ma est strictement positif

Posté par
Didile18
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:21

kenavo27 @ 30-12-2020 à 14:16

Écris l'expression  "fa(x)=1-e^-ax, " en utilisant des parenthèses


C'est Fa(x) = 1-e^(-ax)

Posté par
kenavo27
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:26

Je dois m'absenter un moment.
Je reprendrai le fil après.
Un aidant viendra peut-être à ton secours.

Posté par
Didile18
re : Dm fonction exponentielle 30-12-20 à 14:30

kenavo27 @ 30-12-2020 à 14:26

Je dois m'absenter un moment.
Je reprendrai le fil après.
Un aidant viendra peut-être à ton secours.


D'accord, merci !



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