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dm fonction exponentielle et tangentes

Posté par
cass01
13-10-18 à 15:58

Bonjour,
je dois faire un dm mais il me pose problème, pourriez-vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé: démontrer que la courbe C d'équation y=e^x est entièrement au dessus de chacune de ses tangentes.

Des pistes nous sont données:
-déterminer l'équation de Ta tangente à C au pt d'abscisse a.
j'ai trouvé Ta: y=e^a (x-a+1)
- étudier le signe de la différence entre les deux expressions correspondant à la courbe et à la tangente.
Pour cela j'ai trouvé e^a (x-a+1) - e^x  et j'ai ensuite dit que -e^x serait toujours negatif et e^a toujours positif mais après je suis bloqué.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Yzz
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:02

Salut,

Ce n'est pas e^a (x-a+1) - e^x , mais e^a (x-a+1) - e^a.

Factorise ea

Posté par
Camélia Correcteur
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:03

Bonjour


Le début est OK. Maintenant tu poses g(x)=e^a(x-a+1)-e^x et tu l'étudies comme une nouvelle fonction. Comme tu sais que g(a)=0 les variations te donneront le signe de g.

Posté par
Camélia Correcteur
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:04

Hello Yzz, je te laisse! (j'avais bien vu, et j'ai oublié au moment de taper)

Posté par
sanantonio312
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:04

Bonjour,
T'es sûr. La différence n'est pas affine. Si?

Posté par
Yzz
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:05

Salut Camélia  

Tu as raison, j'ai mal interprété l'énoncé ...  

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:07

Bonjour

soit g la fonction x\mapsto \text{e}^x-\text{e}^a(x-a+1)

étudiez-la  et déterminez son signe

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:09

Merci pour votre aide mais qui a raison Yzz ou Camélia ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:09

Cette fois c'est moi!

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:11

ah d'accord merci mais je ne vois pas comment etudier le signe de g

Posté par
Camélia Correcteur
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:12

Dérive, trouve le sens de variation et n'oublie pas que g(a)=0

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:21

ok donc je dérive e^a (x-a+1) - e^x  mais je ne comprends pas pourquoi g(a) = 0  et aussi a quoi cela vas t'il me servir ?

Posté par
sanantonio312
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:27

Que trouves-tu pour la dérivée?

Posté par
Camélia Correcteur
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:31

> sanantonio312 Je te laisse, je dois partir.

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:32

Je trouve e^a (x-a+2)-e^x mais je ne crois pas que ce soit cela

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:38

la dérivée d'une fonction affine x\mapsto mx+p est la fonction x\mapsto m

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:40

Pour moi g=uxv-w parce que e^a et e^x sont des fonctions et pas des nombres si ? Je suis désolée je suis un peu perdue

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:48

la tangente est une droite  on peut la considérer comme la représentation d'une fonction affine   (car non parallèle à l'axe des ordonnées)
équation de la tangente

y=\text{e}^{a}x-\text{e}^a(a+2)

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:52

ah d'accord merci mais pourquoi +2 ? Je trouve +1 pour la tangente

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:53

oui mais voir 16:32

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 16:57

ah oui mais j'avais trouvais ca pour la dérivé de g or ducoup c'est faux non ? En refaisant la tengente je trouve e^ax+e^a(-a+1) et je trouve donc g(x)= e^ax+e^a(-a+1) - e^x

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:00

d'accord pour g(x)
que vaut g'(x) ?

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:05

g'(x)= e^a-e^x  non ?

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:08

oui

sens de variation de g ?

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:11

Et bah bonne question parce que e^a est positivf mais -e^x est négatif dong je ne sais pas

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:15

on ne sait rien sur la somme de deux nombres en général

 \text{e}^a-\text{e}^x>0  quelle condition ?

rappel x\mapsto \text{e}^x est strictement croissante sur \R

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:18

bah a la condition que e^a soir plus grand que e^x

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:22

ce n'est pas ainsi que l'on résout une inéquation  

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:22

ah bah je ne sais pas alors

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:28

 \text{e}^a-\text{e}^x>0 \iff x<a  

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:34

ah oui c'est vrai merci car [e^a]super[e^x] [a]super[x]

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:36

sens de variation de  g ?

que peut-on dire de \text{e}^a   ?

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:38

bah g est positive quand a est supérieur a x et négative quand x est supérieur a (désolé je n'arrive pas a faire le symbole supérieur ou inférieur) mais comment savons nous quand a est supérieur a x et l'inverse ?

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:50

non  vous confondez g et g'

si x>a, \  g'(x)>g'(a)  \  \text{e}^a-\text{e}^x <0   donc g est décroissante sur ]a~;~+\infty[

si x<a,  \  g'(x)<g'(a)  \  \text{e}^a-\text{e}^x >0   donc g est croissante sur ]-\infty~;~a[

que peut-on dire de g(a) ?

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 17:53

Mais je ne comprends ce qu'est g'(a) et g(a) ?

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:03

Ah si j'ai compris g(a)=0 et g'(a)=0 aussi mais je ne comprends pas le lien avec l'étude du signe de g'(x) je suis totalement perdue la

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:04

g'(a)=\text{e}^a-\text{e}^a=0
ceci permet de montrer que la fonction g admet un maximum en a

 g(a)=\text{e}^a (a-a+1)-\text{e}^{a}=0 puisque  a est l'abscisse du point  de tangence

et cela que le maximum est 0

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:08

mais comment savons nous que a est le maximum de g est non sont minimum ? je suis vraiment désolée mais j'ai l'impression de ne rien comprendre

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:19

dans les messages précédents on a montré ceci
dm fonction exponentielle et tangentes

on peut donc conclure que pour tout x \  g(x)\leqslant 0

ce qui veut dire que   \text{e}^a (x-a+1)-\text{e}^x \leqslant 0  et par

conséquent  pour tout x \not= a \quad \text{e}^x >\text{e}^a(x-a+1)

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:24

D'accord merci beaucoup pour vos explication et votre grande patience, je vais essayer de revoir tout ceci et j'espère pouvoir revenir vers vous si j'ai des questions mais demain bien sure il commence a ce faire tard et je vous ai assez dérangé comme ça pour aujourd'hui.  Bonne soirée et encore merci !

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:31

un grand pas vers la solution mais il n'a pas été explicitement répondu à cette question

Citation :
démontrer que la courbe C d'équation y=e^x est entièrement au dessus de chacune de ses tangentes


pouvez-vous changer votre profil vous êtes encore en seconde !

il n'y a pas de dérangement

essayez de rédiger le problème c'est une bonne façon de voir ce que l'on a compris

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:35

oui bien sure je vais le aire immédiatement
le faite qu'on viens de prouver que e^x est supérieur a e^a(x-a+1) réponds a la question non ?

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:37

indirectement  comme je l'ai dit non explicitement

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:40

oui il reste a faire une phrase de conclusion non ?

Posté par
hekla
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:43

si vous avez déjà expliqué pourquoi  vous étudiez le signe de la différence et à quoi cela correspond   une phrase peut suffire

Posté par
cass01
re : dm fonction exponentielle et tangentes 13-10-18 à 18:45

très bien et encore merci



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