Inscription / Connexion Nouveau Sujet
DM Fonction exponentielle et Trigonométrie
Bonsoir, j'ai un DM à rendre pour le 21/01/19 et je bloque à l'exercice trois j'ai beau essayé je n'y arrive pas..
Soit g la fonction définie sur l'ensemble des réels par g(x)=(2+cosx)e^1-x
On note C la courbe représentative de g dans le repère (O;I;J) (vecteur o i j)
1) Montrer que pour tout x de l'ensemble des réels, g(x)>0
2)a) Justifier que pour tout réel x, 2+cosx+sinx >0
B) montrer que g est strictement décroissante sur l'ensemble des réels
3)a) montrer que, pour tout x de l'ensemble des réels, e^1-x< ou = g(x)< ou = 3e^1-x
b) En déduire les limites de g en + l'infini et en - l'infini
C) interpréter graphiquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de g en + l'infini
1) Pour tout x de R, exp(x) > 0 donc e^(1-x) > 0
2 + cos(x) > 0 cos(x) > -2 , ce qui est vrai pour tout x de R d'après une propriété de la fonction cos
Donc g est positif pour tout x de R comme produit de termes positifs
2) a) 2 + cos(x) + sin(x) > 0 cos(x) + sin(x) > - 2
Or cos(x) > -1 pour tout x de R et il en va de même pour la fonction sinus
On en déduit que cos(x) + sin(x) > -2 et donc que 2 + cos(x) + sin(x) > 0 pour tout x de R
Pour la 2)b) j'ai trouvé la dérivée e^(1-x)*(-sin(x) + cos(x) +1) mais je n'arrive pas à trouver le signe
Salut,
Or cos(x) > -1 pour tout x de R et il en va de même pour la fonction sinus
Bonjour Yzz,
Je ne comprends pas pourquoi c'est pas exact
On a bien
Ma réponse à la question 1 est juste ?
Merci
Bonjour,
< et 
ce n'est pas la même chose.
Sinon, ta réponse à 1) est correcte.
Pour 2), il est facile de démontrer 2+cosx+sinx 
0 .
Il reste à démontrer 2+cosx+sinx 
0 .
Bonjour Sylvieg,
Je ne vois pas comment démontrer que 2 + cos(x) + sin(x) ≠ 0 car on peut avoir cos(x) = -1 et sin(x) = -1
Ah oui, merci Glapion !
Donc on a, pour tout x de R, et inversement
Ainsi il nous est impossible d'avoir 2 + cos(x) + sin(x) = 0 (je sais pas trop comment justifier, c'est trivial du coup)
pour tout x de R, non
on ne peut pas avoir à la fois sin x = -1 et cos x = -1
(et d'ailleurs sin x + cos x = 
2 sin (x+
/4) donc la somme ne peut pas être inférieure à -2)
Si tu veux le justifier sans utiliser cette formule tu peux aussi étudier la fonction 2 + sin x + cos x, la dérivée est cos x -sinx donc le maximum ou minimum de cette fonction ne peut être que quand sin x = cos x donc quand x = /4 ou 3/4
Une manière de justifier :
2 + cos(x) + sin(x) = (1+cos(x)) + (1+sin(x)) est la somme de 2 termes positifs ou nuls, 1+cos(x) et 1+sin(x) .
Cette somme est strictement positive dès que l'un des 2 termes est différent de 0.
Donc cette somme n'est nulle que si les 2 termes sont nuls.
Merci à vous !
Sylvieg, ça revient un peu à faire comme j'ai fait, mais est-ce que je dois dire que c'est vrai pour tout x de R car c'est la question ?
tu te compliques bien la vie ...
en écrivant les choses dans le bon ordre
tout simplement
Ah oui, merci Glapion !
Donc on a, pour tout x de R,
Ainsi il nous est impossible d'avoir 2 + cos(x) + sin(x) = 0 (je sais pas trop comment justifier, c'est trivial du coup)
Donc on a, pour tout x de R,
à moins que tu veuilles des précisions sur ce que signifie ce inversement qui est de bon sens ... même si je te concède qu'on puisse éventuellement exiger de le rédiger plus explicitement ...
Oui bien sûr, c'est le"inversement" qui me gène...
je le comprends comme , ce qui, reconnaissons-le, est quelqque peu... faux.
Je viens de relire le truc, et manifestement ce "inversement" voulait dire .
Vu comme ça, pourquoi pas, mais j'aurais quand même tourné la phrase autrement 
Annuler
connectez vous