Bonsoir, j'ai un DM à rendre pour le 21/01/19 et je bloque à l'exercice trois j'ai beau essayé je n'y arrive pas..
Soit g la fonction définie sur l'ensemble des réels par g(x)=(2+cosx)e^1-x
On note C la courbe représentative de g dans le repère (O;I;J) (vecteur o i j)
1) Montrer que pour tout x de l'ensemble des réels, g(x)>0
2)a) Justifier que pour tout réel x, 2+cosx+sinx >0
B) montrer que g est strictement décroissante sur l'ensemble des réels
3)a) montrer que, pour tout x de l'ensemble des réels, e^1-x< ou = g(x)< ou = 3e^1-x
b) En déduire les limites de g en + l'infini et en - l'infini
C) interpréter graphiquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de g en + l'infini
1) Pour tout x de R, exp(x) > 0 donc e^(1-x) > 0
2 + cos(x) > 0 cos(x) > -2 , ce qui est vrai pour tout x de R d'après une propriété de la fonction cos
Donc g est positif pour tout x de R comme produit de termes positifs
2) a) 2 + cos(x) + sin(x) > 0 cos(x) + sin(x) > - 2
Or cos(x) > -1 pour tout x de R et il en va de même pour la fonction sinus
On en déduit que cos(x) + sin(x) > -2 et donc que 2 + cos(x) + sin(x) > 0 pour tout x de R
Pour la 2)b) j'ai trouvé la dérivée e^(1-x)*(-sin(x) + cos(x) +1) mais je n'arrive pas à trouver le signe
Salut,
Bonjour,
< et ce n'est pas la même chose.
Sinon, ta réponse à 1) est correcte.
Pour 2), il est facile de démontrer 2+cosx+sinx 0 .
Il reste à démontrer 2+cosx+sinx 0 .
Bonjour Sylvieg,
Je ne vois pas comment démontrer que 2 + cos(x) + sin(x) ≠ 0 car on peut avoir cos(x) = -1 et sin(x) = -1
Ah oui, merci Glapion !
Donc on a, pour tout x de R, et inversement
Ainsi il nous est impossible d'avoir 2 + cos(x) + sin(x) = 0 (je sais pas trop comment justifier, c'est trivial du coup)
pour tout x de R, non
on ne peut pas avoir à la fois sin x = -1 et cos x = -1
(et d'ailleurs sin x + cos x = 2 sin (x+/4) donc la somme ne peut pas être inférieure à -2)
Si tu veux le justifier sans utiliser cette formule tu peux aussi étudier la fonction 2 + sin x + cos x, la dérivée est cos x -sinx donc le maximum ou minimum de cette fonction ne peut être que quand sin x = cos x donc quand x = /4 ou 3/4
Une manière de justifier :
2 + cos(x) + sin(x) = (1+cos(x)) + (1+sin(x)) est la somme de 2 termes positifs ou nuls, 1+cos(x) et 1+sin(x) .
Cette somme est strictement positive dès que l'un des 2 termes est différent de 0.
Donc cette somme n'est nulle que si les 2 termes sont nuls.
Merci à vous !
Sylvieg, ça revient un peu à faire comme j'ai fait, mais est-ce que je dois dire que c'est vrai pour tout x de R car c'est la question ?
tu te compliques bien la vie ...
en écrivant les choses dans le bon ordre
tout simplement
Oui bien sûr, c'est le"inversement" qui me gène...
je le comprends comme , ce qui, reconnaissons-le, est quelqque peu... faux.
Je viens de relire le truc, et manifestement ce "inversement" voulait dire .
Vu comme ça, pourquoi pas, mais j'aurais quand même tourné la phrase autrement
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