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DM fonction logarithme 3 question
Bonjour a tous !! Je suis en terminale S et j'ai la fin d'un DM de math que je n'arrive vraiment pas . Alors merci d'avance pour toutes aides données ^^
on a f(x)=lnx et g(x)=ax^2 et h(x)=g(x)-f(x) donc h(x)=ax^2-lnx
on suppose que a est positif
1 justifier que pour tout x>0 on a h(x)>1/2(1+ln2a)
2 déterminer en fonction des valeur du réel a strictement positif, le tableau de signe de 1/2(1+ln2a)
3 justifier que si a<1/2e alors l'équation h(x)=0 admet 2 solution dans l'intervalle ]0,+l'infinie[
Pour la question 1, je bloque quand " ax^2+1/2 > ln2a/2 + lnx
Pour la question 2 , j'ai trouver que le signe de cette fonction est toujours positive puisque lnx et a sont positif dans ce cas
Par contre pour la dernière question , je sèche .
Merci !
Bonjour , moi j'aurais fait peut être quelque chose comme ça pour la 1)
h(x)>1/2(1+ln2a) <=> ax^(2)-lnx > 1/2(1+ln2a) <=> ax^(2)-lnx-1/2(1+ln2a) > 0
J'aurais ensuite étudier les variations de cela pour prouver que c'est toujours positif ce qui fait : l(x)=ax^(2)-lnx-1/2(1+ln2a)
l'(x)=2ax-(1/x)
l'(x)=(2ax²-1)/x puis étudie le signe et prouve que c'est toujours positif
Pour la question 2 , j'ai trouver que le signe de cette fonction est toujours positive puisque lnx et a sont positif dans ce cas
Non
j'avais pas du tout pensé a faire la dérivée pour prouver que c'est positif, merci!
Du coup, pour faire le minimum je dois résoudre h(x)=O, mais a quoi cela servirait pour cette question ?
pour la dérivée j'ai trouvé (2ax+ln2x)/x
2ax+ln2x>0 et x>0 donc dans le tableau, h(x) serait croissante
si c'est superieur ou égale .
pour la dérivé de 1/2(1+ln2a) : u=1/2 u'=0 v=1+ln2a v'= (2ax+ln2x)/ x (puisque j'ai appliqué la formule du produit avec u et v)
ensuite u'v+uv'= (x*2ax+ln2x)/2x
cassie, on en est à la question 1)
Il s' agit de déterminer les variations de définie par:
sur
Donc de calculer
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