Bonsoir,

Je suis une élève de terminale S et j ai des difficultés sur mon dm. :/  S il vous plait aidez moi à corriger mes erreurs.

Voici l 'énoncé:

Soit la fonction f définie sur R:
f(x)= xe^x/ (e^x)-1 si x  est différent de 0
                            si x=0

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O,I,J)
1) a) Déterminer la limite de f en -infini
     b) Etablir que, pour tout réel x non nul:
                            f(x)=x(1+ (1/(e^x)-1)

En déduire la limite de f en +infini

2) Calculer lim x/(e^x)-1 lorsque x tends vers 0.

3)a) démontrer que, pour tout x E R, (e^x) est supérieur et égale a x+1 et que l'égalité n'a lieu que pour x=0.
  b) Déterminer g(x) telle que, pour tout x E R*
          f'(x)=(e^x)*g(x) / ((e^x)-1)²


c) donner le tableau de variations de f.
4) Soit x un nombre réel non nul et les points M(x;f(x)) et M' (-x;f(-x)) de la courbe C.

a) Etablir que f(-x)= x/(e^x)-1 puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM')
b) on admet que la fonction f est dérivable en 0
Que suggère alors le résultat précédent  ?

Mes calculs:

1)a) Pour f(x)= (xe^x/(e^x)-1
Soit x différent de 0
On a lim de xe^x=0 et lim e^x= 0 lorsque x tend vers - infini
Donc lim f(x) est une Fi lorsque x tend - infini
On a xe^x/(e^x)-1=  apres factorisation a (x/e^x)/((-1/e^x)+1)
Donc on a Lim x/e^x=0 et lim (-1/e^x)+1=+infini lorsque x tend vers -infini
D'ou lim f(x)= +infini


b) Pour f(x)= x(1+(1/(e^x)-1) = en factorisant à xe^x/(e^x)-1
Soit x E R,
On a lim  xe^x=0 et lim e^x=+infini  lorsque x tend vers +infini
Donc lim f(x) est une FI lorsque x tend vers +infini
On a (xe^x/(e^x)-1= ((e^x)*(x/e^x))/ (e^x)*((-1/e^x)+1)
Donc lim x/e^x=0 et lim (-1/(e^x))+1=+infini lorsque x tend vers +infini
donc lim f(x) = +infini lorsque x tend vers +infini


2) soit x E R, on a :
Lim x/(e^x)-1=lim 0/(e^0)-1=0 lorsque x tend vers 0.

Ainsi f est continue sur R
Lim f(x)=0 et f(0)=0 donc Lim f(x)=f(0) lorsque x tend vers 0
Donc f(x) est continue en 0.

3) je ne comprends pas l 'énoncé en fait. faut t-il faire une récurrence ou le Théorème des valeurs intermédiaires suivit de la bijection?  s il vous plait.

Merci d'avance pour toutes aides et corrections.