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DM Fonctions Exponentielles
Bonjour, voici mon sujet :
f(x) = (-5x²+ 2x + 3) ex
g(x) = (3x + 6) e-x
1) Étudier les variations de f et g sur R.
2) Résoudre les équations f(x) = 0 et g(x) = 0
3) Déterminer lés équations des tangentes respectives à Cf (la courbe de f), et à Cg (courbe de g) en un point à choisir.
4) Tracer ces tangentes et l'allure des courbes Cf et Cg dans un même repère.
Actuellement j'ai fais ça :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (-5x² + 2x + 3)e^x
f'(x) = u'v + v'u
f'(x) = (-10x + 2)e^x + (-5x² + 2x + 3)e^x = e^x (-5x² - 10x + 2x + 2 + 3= = e^x (-5x² - 8x +5)
Calcul du signe de f'(x) :
On sait que e(x)>0, ainsi, on peut calculer directement le signe de f'(x) grâce à -5x² - 8x + 5
Ainsi, ∆ = b² - 4ac
Soit, ∆ = (-8)² - 4( -5 x 5)
∆ = 64 + 100 = 164 > 0 donc 2 racines
x1 = (-b - √ ∆) / 2a
x2 = (-b + √ ∆) / 2a
x1 = (8 - √ 164) / 2(-5) = (-4 + √ 41) / 5
x2 = (8 +√ 164) / 2(-5) = -[(4 + √ 41) / 5]
(photo ci joint)
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (3x + 6) e^-x
g'(x) = u'v + v'u
g' (x) = 3 (e^-x)+ (3x+6) (- e^-x)
Je bloque à partir de là, dois-je trouver un facteur commun pour continuer où dois-je garder la dérivé telle qu'elle, j'ai du mal à comprendre les prochaines questions aussi.
A bientôt et merci de votre aide
J'aurais envie de dire
g' (x) = 3 (e^-x)+ (3x+6) (- e^-x) = e^-x ((3)(3x+6)
Mais le - de (- e^-x) disparaîtrait.
mmhh..
si je t'écris :
g' (x) = 3 (e^-x)+ (3x+6)* (- e^-x)
g' (x) = 3 (e^-x) - (3x+6)* ( e^-x) ...
(de même que 3 (A)+ (3x+6) (- A) = 3(A) - (3x+6)(A) 
g' (x) = 3 (e^-x)+ (3x+6) (- e^-x)
g' (x) = 3 (e^-x) - (3x+6)* ( e^-x)
g' (x) = ( e^-x)(3-3x-6)
g' (x) = ( e^-x)(-3x - 3)
Je pense que c'est bon
Calcul du signe de g'(x) :
On sait que e^-x > 0, ainsi, on peut calculer directement le signe de g'(x) grâce à -3x-3.
-3x-3 = 0
3x = 3
x = 1
A partir de là je peux faire mon tableau non ?
2)
f(x) = 0
(-5x²+2x+3)e^x = 0
Le polynôme est de la forme ax²+bx+c, a=−5, b=2, c=3
Δ=(b²−4ac)=2²−4*(−5)(3)=22+3(−4(−5))=64
x1= (-b-√Δ) /2a= (-2 - √64) / 2(-5) = (-2 - 8)/ 2(-5) = 1
x2= (-b+√Δ) /2a= (-2 + √64) / 2(-5) = (-2 + 8)/ 2(-5) = -3/5
Les solutions de l'équation sont [1 ; -3/5]
oui, c'est ça..
Pourquoi doutes tu ainsi de ce que tu écris ? Tu te débrouilles très bien.
pour la question suivante,
tu peux choisir l'abscisse du point de la tangente à la courbe.
Choisis une valeur de x qui facilitera les calculs !
que proposes tu ?
Merci beaucoup ! Je n'ai jamais vraiment réussi à trouver beaucoup de confiance en moi-même.
Je pense qu'il est plus facile de choisir un petit chiffre comme 1 pour valeur de x ?
c'est une bonne idée, mais avec x=1, les e^x et e^-x deviennent e et 1/e...
ce qui n'est pas vraiment pratique.
je te propose de choisir x = 0 ..
ton avis ?
Très bien !
Pour la courbe f, ça donne donc :
f(0) = (-5²*0 + 2*0 + 3)e^0 = 3*1 = 3
f' (0) = e^0 (-5*0²-8*0+5) = 1*5 = 5
T:y= f ( a ) + f ′ ( a ) ( x - a )
= f(0) + f'(0) (x-0)
= 3 + 5 * (x-0)
Je coince ici
Pour la courbe g, ça donne :
g(0) = (3*0 +6)e^0 = 6*1 = 6
g'(0)=e^0(-3*0-3)= 1*-3 = -3
T:y= g ( a ) + g ′ ( a ) ( x - a )
= g(0) + g'(0) (x-0)
= 6-3 (x-0)
Encore une fois je coince ici
y = 3 + 5 * (x-0)
mais x-0 = x non ?
donc ca donne y = 3 + 5x qu'on écrit plutot y = 5x +3
pour g(x):
y = 6-3 (x-0) meme remarque x-0 = x
==> y = -3x +6
OK ?
pour la dernière question, je te laisse faire sur geogebra par exemple..
Oh d'accord, je suis un peu bête alala
Merci beaucoup de votre aide ! C'est trop gentil de votre part
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