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Niveau quatrième
DM Géométrie
Posté par Arthur95
Bonjour
J'ai un exercice de DM sur lequel je sèche depuis des heures ..
pouvez vous m'aider ; svp ?
voivi l'énoncé
Tracer un demi cercle de centre O et de diamètre ( ab ) telque OA =7 cm
Placer un point M sur le demi cercle ( de telle manière que BM = 7,5 cm ) et un point C sur (AO)tel que tel que OC = 5 cm
Tracer le point D symétrique du point C par rapport au point O
Tracer les droites parallèles à ( OM )passant par C et par D , elles coupent le demi cercle respectivement en E et F
Soient P et S les points d'intersection respectifs de ( OM ) avec ( CF) et ( EF)
a/ Démontrer que P est le milieu de (CF) et S le milieu de ( EF )
b/Démontrer que OE = OF
Puis déduire que ( OS) est la médiatrice de (EF)
c/ Démontrer que le triangle CEF est rectangle
Merci d'avance de votre aide pour la démonstration
Salut, Arthur95.
Pour la première question:
a. Démontrer que P est le milieu de (CF) et S le milieu de (EF)
Il faut utiliser la réciproque du thèoreme du milieu qui dit:
"Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu"
Alors:
Prenons d'abord le triangle CDF.
On sait que O est le milieu de CD (par construction, car D est le symétrique de C par rapport au point O
b/ Démontrer que OE = OF
Il me semble évident: E et F sont des points du cercle du centre O. Donc, OE et OF sont tous les deux des rayons du cercle et en conséquence égaux.
On sait que OM (qui passe par P) est parallèle FD (aussi para construction).
Donc, P est le milieu de CF.
De la même façon, prenons maintenant le triangle CEF.
On vient de montrer que P est le milieu du côté CF. Par construction, OM est parallèle à EC. Donc, d'après la réciproque ci dessus, OM coupe EF en son milieu, en l'ocurrence, le point S.
***Puis déduire que ( OS) est la médiatrice de (EF) ****
EOS est un triangle isoscele en O. Si S est le milieu du côté opposé, OM est forcément la médiatrice (et aussi la bissectrice et la hauteur et la médiane).
*** c/ Démontrer que le triangle CEF est rectangle ***
Je suis fatigué déjà. Ce dernier point devrait être facile pour toi! 
Bon courage!
Johnny Torres