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DM géométrie analytique
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
On donne A(0,6),B(6,0),C(-3,0) M,N et P sont les milieux respectifs de [AB],[BC] et [AC].
1) Quelle est l'équation du cercle (C) circonscrit au triangle (M,N,P). Donnez les cordonnées de son centre 
.
2) Montrer que (C) passe par les pieds des hauteurs issues de A,B et C dans le triangle (A,B,C)
3) H est l'orthocentre du triangle (A,B,C), I,J et K sont les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH], montrer que (C) passe par I,J et K.
4) 
est le centre du cercle (C') circonscrit au triangle (A,B,C), G est le centre de gravité du triangle (A,B,C).
Montrer que , , G et H sont alignés.
5) Faire une figure ( 2 cm pour unité sur chaque axe )
Ce DM est a rendre juste avant les vacances de noël, soit Vendredi après-misi. Jolie cadeau de noël vous trouver pas? On nous l'a donné Lundi ...
Moi j'ai réussi la question 1) et pour le reste je ne vois absolument pas comment faire de plus j'ai des copains qui l'on fait avec un prof de maths et bien ils ont réussi que les 3ère q° en 2h, Moi je pense que ces DM ne sont pas de notre niveau, donc un jolie geste de votre pars sera fort sympathique 
1)
A(0;6)
B(6;0)
C(-3;0)
M(3;3)
N(3/2;0)
P(-3/2;3)
(C) est d'équation (x-a)²+(y-b)² = R²
M € (C) donc (3-a)²+(3-b)² = R² donc R² = a²-6a+9+b²-6b+9
N € (C) donc ((3/2)-a)²+(0-b)² = R² donc R² = a²-3a+(9/4)+b²
P € (C) donc ((-3/2)-a)²+(3-b)² = R² donc R² = a²+3a+(9/4)+b²-6b+9
On reporte la valeur de R² de la première équation dans les deux autres :
{
a²-3a+(9/4)+b² = a²-6a+9+b²-6b+9
a²+3a+(9/4)+b²-6b+9 = a²-6a+9+b²-6b+9
}
D'où :
{
3a+6b = 63/4
9a = 27/4
}
Donc a = 3/4 et b = 9/4
Donc R² = (3-a)²+(3-b)² = (9/4)²+(3/4)² = 90/16
Donc (C) est d'équation [x-(3/4)]²+[y-(9/4)]² = 90/16
Les coordonnées de son centre O sont O(3/4;9/4)
2)
Soient A', B', C' les pieds des hauteurs issues de A, B et C dans le triangle ABC
vect(AA')(xA';yA'-6) orthogonal à vect(BC)(-9;0) donc -9xA' = 0
vect(BA')(xA'-6;yA') colinéaire à vect(BC)(-9;0) donc -9yA' = 0
Donc xA' = 0 et yA' = 0
vect(BB')(xB'-6;yB') orthogonal à vect(AC)(-3;-6) donc -3(xB'-6)-6yB' = 0
vect(AB')(xB';yB'-6) colinéaire à vect(AC)(-3;-6) donc -3(yB'-6) = -6xB'
Donc xB' = -6/5 et yB' = 18/5
vect(CC')(xC'+3;yC') orthogonal à vect(AB)(6;-6) donc 6(xC'+3)-6yC' = 0
vect(BC')(xC'-6;yC') colinéaire à vect(AB)(6;-6) donc 6yC' = -6(xC'-6)
Donc xC' = 3/2 et yC' = 9/2
A'(0;0)
B'(-6/5;18/5)
C'(3/2;9/2)
On rappelle que (C) est d'équation [x-(3/4)]²+[y-(9/4)]² = 90/16
[xA'-(3/4)]²+[yA'-(9/4)]² = (-3/4)²+(-9/4)² = 90/16 donc A' € (C)
[xB'-(3/4)]²+[yB'-(9/4)]² = (-39/20)²+(27/20)² = 90/16 donc B' € (C)
[xC'-(3/4)]²+[yC'-(9/4)]² = (3/4)²+(9/4)² = 90/16 donc C' € (C)
3)
vect(AH)(xH;yH-6) orthogonal à vect(BC)(-9;0) donc -9xH = 0
vect(BH)(xH-6;yH) orthogonal à vect(AC)(-3;-6) donc -3(xH-6)-6yH = 0
Donc xH = 0 et yH = 3
A(0;6)
B(6;0)
C(-3;0)
H(0;3)
I(0;9/2)
J(3;3/2)
K(-3/2;3/2)
On rappelle que (C) est d'équation [x-(3/4)]²+[y-(9/4)]² = 90/16
[xI-(3/4)]²+[yI-(9/4)]² = (-3/4)²+(9/4)² = 90/16 donc I € (C)
[xJ-(3/4)]²+[yJ-(9/4)]² = (9/4)²+(-3/4)² = 90/16 donc J € (C)
[xK-(3/4)]²+[yK-(9/4)]² = (-9/4)²+(-3/4)² = 90/16 donc K € (C)
4)
A(0;6)
B(6;0)
C(-3;0)
(C') est d'équation (x-a)²+(y-b)² = R²
A € (C') donc (-a)²+(6-b)² = R² donc R² = a²+b²-12b+36
B € (C') donc (6-a)²+(-b)² = R² donc R² = a²+b²-12a+36
C € (C') donc (-3-a)²+(-b)² = R² donc R² = a²+b²+6a+9
Donc a = b = 3/2 et R² = 90/4
Donc (C') est d'équation [x-(3/2)]²+[y-(3/2)]² = 90/4
Les coordonnées de son centre W sont W(3/2;3/2)
xG = (xA+xB+xC)/3 = 1
yG = (yA+yB+yC)/3 = 2
O(3/4;9/4)
W(3/2;3/2)
G(1;2)
H(0;3)
J'aimerai savoir si c'est bon jusqu'a présent ?
bonsoir
tout ceci me semble bon, avec une figure cohérente. as-tu vérifié par le calcul que les points trouvés sont alignés ?
exact, refias les calculs, moi je trouve
vect (GH) (-1,1)
vect(WH)(-3/2 , 3/2)
vect (OH)(-3/4 , 3/4)
donc vect WH = 3/2 vect GH et vect(OH) = 3/4 vect GH les 4 points sont bien alignés
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