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Niveau quatrième
dm géométrie démonstration parallèlogramme
Posté par kinder24
Bonjour à tous,
Nous avons besoin d'aide c'est un devoir pour demain sur lequel nous "bûchons" depuis plusieurs jours :
Nous devons reproduire un rectange ABCD de 6 cm et 3 cm avec ses diagonales qui se coupent au point O.
Puis nous devons tracer la droite (d1) parallèle à (BD) passant par A; (d2) parallèle à (AC) passant par B; (d3) parallèle à (BD) passant par C et (d4) parallèle à (AC) passant par D.
On doit placer les points A' à l'intersection de (d1) et (d2); B' à l'intersection de (d2) et (d3); C' à l'intersection de (d3) et (d4) et D' à l'intersection de (d4) et (d1).
Pour tout ça c'est bon, voici là où ça coince :
il faut démontrer que (A'B') et (C'D') sont parallèles
que (A'D') et (B'C') sont parallèles
et démontrer que le quadrilatère A'B'C'D' est un parallèlogramme.
Notre idée est la suivante :
On sait que ABCD est un rectangle, que (d1) est parallèle à (BD) et passe par A, que (d2) est parallèle à (AC) et passe par B, que (d3) est parallèle à (BD) et passe par C, que (d4) est parallèle à (AC) et passe par D, que A' est à l'intersection de (d1) et (d2), que B' est à l'intersection de (d2) et de (d3), que C' est à l'intersection de (d3) et (d4) et que D' est à l'intersection de (d4) et de (d1).
Or un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles.
Donc (A'B') et (C'D') ainsi que (A'D') et (B'C') sont parallèles.
Pour démontrer que A'B'C'D' est un parallèlogramme :
On sait que ABCD est un quadrilatère.
Or un quadrilatère est un croisé et a deux côtés parallèles et de mêmes longueurs alors c'est un parallèlogramme.
Donc A'B'C'D' est un parallèlogramme.
Qu'en pensez-vous?
Merci du temps que vous nous accorderez
bonjour,
tu écris
Citation :
Or un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles.
Or un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles.
tu te trompes, il y a des quadrilatères qui n'ont pas leurs cotés opposés parallèles (un cerf-volant par exemple).
Ce sont les parallélogrammes qui ont leurs cotés opposés parallèles.
reprends ton cours et apprends bien tes propriétés.
pour montrer que (A'B')//(C'D'), tu peux montrer que (d2)//(d4)
on a (d2)//(AC) et (d4)//(AC),
or quand deux droites sont // à une meme troisième, alors elles sont // entre elles.
donc (d2)//(d4)
procéde de la meme façon pour montrer que (C'B')//(A'D')
et ensuite seulement, tu pourras utiliser la propriété qui dit qu'un quadrilatère dont les cotés opposés sont // est un parallellogramme.
D'accord ?
Salut,
Citation :
On sait que ABCD est un rectangle, que (d1) est parallèle à (BD) et passe par A, que (d2) est parallèle à (AC) et passe par B, que (d3) est parallèle à (BD) et passe par C, que (d4) est parallèle à (AC) et passe par D, que A' est à l'intersection de (d1) et (d2), que B' est à l'intersection de (d2) et de (d3), que C' est à l'intersection de (d3) et (d4) et que D' est à l'intersection de (d4) et de (d1).
On sait que ABCD est un rectangle, que (d1) est parallèle à (BD) et passe par A, que (d2) est parallèle à (AC) et passe par B, que (d3) est parallèle à (BD) et passe par C, que (d4) est parallèle à (AC) et passe par D, que A' est à l'intersection de (d1) et (d2), que B' est à l'intersection de (d2) et de (d3), que C' est à l'intersection de (d3) et (d4) et que D' est à l'intersection de (d4) et de (d1).
Ok mais ça n'apporte pas grand chose, le reste est faux, un quadrilatère n'a pas forcément des côtés opposés parallèles, les parallélogrammes sont des quadrilatères particuliers ce sont eux qui ont des côtés opposés parallèles, voila ce que je propose:
A' est à l'intersection de (d1) et (d2)
B' est à l'intersection de (d2) et de (d3)
Donc A' et B' appartiennent à la droite d2
Donc (A'B') est la droite d2
Avec le même raisonnement (C'D') est la droite d4
Or (d2) et (d4) sont parallèles à (AC)
Donc (A'B') est parallèle à (C'D')
Avec le même raisonnement on obtient que (A'D') et (B'C') sont parallèles.
Pour démontrer que A'B'C'D' est un parallèlogramme :
les parallélogrammes sont des quadrilatères qui ont des côtés opposés parallèles.
A'B'C'D' est un quadrilatère dont le côté A'B' est parallèle à C'D' et dont le côté B'C' est parallèle à A'D'
A'B'C'D' est donc un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
A'B'C'D' est donc un parallèlogramme
Oui, ok Iamat.
C'est très clair, mais maintenant comment doit-on faire pour écrire la démonstation?
Avec les termes : on sait que..., or..., donc... pour conclure.
On a pas de cours sur le sujet donc on ne sait pas vraiment...
Merci d'avance
Merci Leile,
Malheureusement je n'ai pas de cours sur ce sujet pour l'instant en tout cas... donc il m'est difficile de vérifier mes propriétés...
On a essayé de déduire une solution avec ce qu'on savait !
on sait que
A' est à l'intersection de (d1) et (d2)
on sait que.
B' est à l'intersection de (d2) et de (d3)
Donc A' et B' appartiennent à la droite d2
Donc (A'B') est la droite d2
Pour démontrer que A'B'C'D' est un parallèlogramme :
on sait que
les parallélogrammes sont des quadrilatères qui ont des côtés opposés parallèles.
on sait que
A'B'C'D' est un quadrilatère dont le côté A'B' est parallèle à C'D' et dont le côté B'C' est parallèle à A'D'
Donc A'B'C'D' est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
pour conclure
A'B'C'D' est un parallèlogramme
Merci iamat,
Pour la démonstration du parallèlogramme c'est totalement clair, mille merci.
Par contre on n'a pas compris : comment démontrer que les droites (A'B') et (C'D') et pour (A'D') et (B'C') sont parallèles ?
Car il faut savoir que les questions sur les droites (A'B') (C'D') et (A'D') (B'C') se trouvent avant celle de la démonstration du parallèlogramme alors que si j'ai bien compris votre résonnement vous vous servez de la démonstration du parallèlogramme pour démontrer que les autres droites sont parallèles ?
Re,
tu dis que tu n'as pas de cours, mais on utilise ici des choses vues en 5ème..
1) démontrer que (A'B')//(C'D')
tu as compris pourquoi ca revient à montrer que (d2)//(d4) ?
pour montrer que (d2)//(D4) :
on sait que (d2)//(AC) et (d4)//(AC),
or quand deux droites sont // à une meme troisième, alors elles sont // entre elles (vu en 5ème).
donc (d2)//(d4)
puisque (d2) = (A'B') et (D4)=(C'D')
alors (A'B')//(C'D')
fais la meme chose pour montrer que (d1)//(d3) et donc que ((B'C')//(A'D')
ensuite pour montrer que A'B'C'D' est un parallélogramme :
on sait que A'B'C'D' est un quadrilatère, ses cotés A'B' et C'D' sont opposés, ses cotés B'C' et A'D' sont oppposés
on sait que (A'B')//(C'D') et (B'C')//(A'D')
OR un quadrilatère dont les cotés opposés sont // est un parallelogramme.
DONC A'B'C'D' est un parallélogramme.
OK ?
Un grand merci Leile, tout est enfin très clair pour nous !
Nous avons même réussi à faire la 2ème démonstration sans difficulté !
Peut-être nous manque-t'il des infos de 5ème mais cette leçon nous est complétement inconnue et sans aucune trace dans nos cahier...
Encore merci du coup de main et surtout de la compréhension !