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DM Intégration

Posté par
Emmaaaaaaaa
15-04-19 à 17:21

Bonjour, j'ai un DM à rendre mardi prochain sur l'intégration et je suis bloquée au tout début, pouvez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel n, on pose : un=[0;1] ent/1+et  dt

1. Calculer u1.

2. Calculer u0+u1 et en déduire la valeur de u0.

3. Démontrez que pour tout entier naturel n non nul, on a un+un+1= en-1/n

4. Calculer les valeurs exactes de u2 et u3.

5. Compléter l'algorithme suivant pour qu' il permette de calculer u8 :

u <-- ...
Pour k allant de ... à ... faire
u <-- ...
Fin du pour

(<-- représente une flèche, désolée je n'ai pas trouvé comment la faire autrement 😅)

6. Justifier que un0 pour tout entier naturel n non nul.

7. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, on a :
un+1-un=[0;1] ent(et-1)/1+et
  dt

8. En déduire le sens de variation de la suite (un).


J'ai répondu à la question 1 : j'ai primitivé la fonction et j'ai trouvé u'/u ln (u) ln (1+et), donc pour trouver u1 on a F(1) - F(0) ln (1+e1) - ln (1+e0)= ln (1+e1)-ln (2) 0,620.

Je suis bloquée à la question 2...


Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 15-04-19 à 17:24

bonjour
1)

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q27 - Comment bien écrire une formule sur le forum ?



2) écris la somme de tes intégrales, ton quotient se simplifie....

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 15-04-19 à 17:34

Ah oui désolée 😅
Pour tous les calculs de ce DM toutes les expressions sont sur et sous la barre de division il n'y en a aucun en dehors de celle ci. Vous voulez que je les recopie quand même pour être sûr ?

Et merci, je trouve [0;1] (e1)/(et) mais je ne sais pas comment retrouver u0 avec ça...

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 15-04-19 à 17:55

euh, c'est quoi ça ? u_0+u_1 ? montre moi comment tu simplifies ta fraction ....

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:08

J'avais fait u0+u1
= [0;1] (e0)/(1+et) dt + [0;1] (e1)/(1+et) dt
=[0;1] (1)/(1+et) dt + [0;1] (e1)/(1+et) dt
= [0;1]
(1+e1)/(1+et) dt

Posté par
alb12
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:10

salut, pour s'essayer à ecrire correctement


 \\ \begin{aligned}
 \\ u_1=\int_0^1\dfrac{e^t}{1+e^t}\;\mathrm{d}t=\left[\ln(1+e^t)\right]_0^1=\ln(1+e)-\ln{2}
 \\ \end{aligned}
 \\

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:19

Emmaaaaaaaa @ 15-04-2019 à 18:08

J'avais fait u0+u1
= [0;1] (e0)/(1+et) dt + [0;1] (e1)/(1+et) dt
=[.....


ta 2e intégrale est fausse
c'est n qui vaut 1

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:23

Ah oui exact j'avais oublié le t ! Du coup ça vaut 1 et u0 = 1-0,620 c'est ça ??

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:26

oui
tu dois garder les valeurs exactes par contre (pour u_1 comme pour u_0)

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 15-04-19 à 18:51

Ok merci beaucoup, je ferai les autres questions demain, je vous redemanderais sûrement si j'ai besoin d'aide mais j'essaierai d'abord seule. Merci de votre aide !

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 17-04-19 à 12:24

Bonjour, pour la question 3. j'ai commencé à la faire mais je suis bloquée à partir d'un certain point...
Voici ce que j'ai trouvé : (désolée j'ai essayé d'utiliser les caractères du site mais mon portable beug et je n'ai pas réussi...)

un + un+1 =  [0;1] (ent)/(1+et)dt + [0;1] (e(n+1)t)/(1+et) dt
=[0;1] (ent) / (1+et)dt + [0;1] (ent+et)/(1+et) dt
= [0;1] (ent+ent+et)/(1+et) dt
= [0;1] (2ent)/1 dt
=[0;1] 2ent dt

Et là je suis bloquée, et je ne suis pas sûre que mes calculs soient bons...

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 17-04-19 à 13:12

alors trouver une primitive de e^(nt) est facile
par contre il y a un coefficient 2 qui me semble bizarre
je vais regarder

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 17-04-19 à 13:14

tes calculs de somme de fractions sous le signe intégrale sont faux effectivement
refais le....(c'est un simple problème de fraction)

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:12

Bonjour, merci pour votre réponse et désolée je n'avais pas de connexion internet ces derniers jours, j'ai refait le calcul et je trouve
[0;1] (ent+ent X et)/(1+et) et je ne sais pas comment le simplifier...

Sinon j'ai fait la question 4 et j'ai trouvé :
u2=[0;1] e2t/(1+et) dt
=[ln (1+et)][0;1]
=ln (1+e2)-ln (1+e1)
=0,8136663235
Et par le même principe,
u3 = ln (1+e3)-ln(1+e2)
=0,9216593405... Là encore je ne sais pas si j'ai bon.

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:13

a+ab=a(1+b)
.....

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:19

Ah oui merci !!

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:38

Donc je tombe bien sur
entdt
=[ent/n][0;1]
=(en)/(n) - (e0)/(n)
=(en-1)/n.

Merci beaucoup !

Et pour la 4 du coup vous en pensez quoi svp ?

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:59

c'est faux !! tu sais, il y a rarement des mystères à ton niveau
quand tu comprends que la question 4 suit la question 3....ça aide ! .....

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 17:59

Aussi j'ai complété l'algorithme de la question 5 (compléter l'algorithme suivant pour qu'il permette de calculer u8) mais là encore je ne suis pas sure de moi, surtout pour le dernier point à compléter...

u<--k
Pour k allant de 0 à 8 faire
u<-- [0;1] (ekt)/(1+et) dt
Fin du pour

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:00

D'accord merci, je refais la 4 😅

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:10

Question 4 : je trouve
u1+u2= e1-1
=1,718281828
u2=(u1+u2)-u1= 1,098167321
(Car u1=0,620114507 d'après la question 1)

et u2+u3=(e2-1)/2
=3,194528049
Donc u3=2,096360728.

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:10

euh, faut garder toutes les valeurs exactes !!

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:13

Oui c'est ce que j'ai fait... J'en ai loupé ??

Posté par
malou Webmaster
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:30

euh...moi je ne vois que des valeurs approchées ....

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 21-04-19 à 18:54

Je ne comprend pas... Ma calculatrice n'allait pas au delà de ce que je vous ai écrit...

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 22-04-19 à 14:10

C'est bon j'ai compris, je dois laisser avec les ln.

Donc je trouve u2=(e1-1)/(1) - u1

=(e1-1)-ln(1+e1)+ln(2).

u3= (e2-1)/(2) - e1+1+ln(1+e1)-ln(2)

Posté par
alb12
re : DM Intégration 22-04-19 à 17:26

le probleme vu par un logiciel de calcul formel

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 22-04-19 à 19:38

Super merci beaucoup !
Sinon j'ai réussi à le finir mais en sautant la question 6... Je n'arrive pas à terminer l'hérédité de la récurrence...

Initialisation : au rang n=0, u0=0,3798854930 donc P(0) est vraie.

Hérédité : on suppose qu'a un rang k, P(k) est vraie c'est à dire que uk=[0;1](ekt)/(1+et) dt0.
On doit montrer que P(k+1) est vraie c'est à dire que uk+1=[0;1](e(k+1)t)/(1+et) dt 0 est vraie.

Et la je n'y arrive pas...

Posté par
alb12
re : DM Intégration 22-04-19 à 19:41

c'est beaucoup plus simple
l'integrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive

Posté par
Emmaaaaaaaa
re : DM Intégration 22-04-19 à 19:49

Et c'est tout ?? Ohlala merci j'ai galéré je ne sais pas combien de temps au brouillon j' étais dégoûtée de ne rien trouver !

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