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DM kamikase sur la puissance d un point merci d avance 2me sauvé
bonjour merci d avance pr votre aide car ce challange est bien tro dur pr moi m^ apre 2 journée passé dessu
si possible avant mercredi merci
Le T.D. 1 a permis de démontrer le résultat suivant :
M étant un point quelconque et C un cercle de centre 0 et de rayon R, on trace une droite passant par M et sécante au cercle en deux point A et B.
Alors le produit scalaire MA.Mb, indépendant de la sécante choisie, est appelé puissance du point M par rapport au cercle C. On a . MA.MB=MC.MD=OM²-R²
Ce probleme propose plusieurs applications de cette propriété.
1°) Avec une tangente
M est un point extérieure au cercle C. une sécante passant par M coupe C en A et B; une droite (MT) est tangente en T au cercle.
a) Montrer que MA.MB=MT² (ca j'ai réussi)
b) On place Mde telle façon que AB=MT
Montrer que le rapport MA/AB est égal au nombre d'or (le nombre d'or est le nombre ¤=(1+(racine de) 5)/2, solution positive de l'équation x²-x-1=0
2°) Cocyclicité
a) Soit A, B, C, et D quatre points d'un cercle C tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en un point E. Justifié que EA.EB=EC.ED
b°)Réciproquement, soit deux droites (AB) et (CD) sécantes en E tel que :
EA.EB=EC.ED
Montrer que les points A, B, C et D sont cocycliques.
indications : Le cercle circonscrit au triangle ABC coupe la droite (CD) en D'. Montrer que les points D et D' sont confondus.
3°) Une formule d'Euler
Etant donnée un traingle ABC, de cercle circonscrit T (centre O, rayon R), de cercle circonscrit C (de centre I, de rayon r), on pose d=OI.
Cet exercice propose de prouver l'égalité : d²=R(R-2r)
A' est le point d'intersection de la médiatrice (AI) avec le cercle T; S est le projeté orthogonal de I sur (AC) ; A'' est le point diametralement opposé à A' sur T
On note ¤ l'angle BAI^
a) Egalité d'angles
En utilisant le théoreme de l'angle inscrit, montrer que :
A'BC^ (angle)=BA''A'^ (angle) = ¤
Justifié que A'BI^ (angle) est supplémentaire à AIB^ (angle) et en déduire que le triangle IA'B est isocèle en A'.
b) Exprimer IA en fonction de r et de ¤, et BA' en fonction de R et ¤. (Utilisé les triangles rectangles AIS et BA'A'')
c) En utilisant la puissance du point I par rapport au cercle T, montrer alors l'égalité proposée.
merci bcp d'avance et bonne année a ts .
bonjour à tous,
J'ai le même exercice à faire et les questions 1)b, 2)b et 3)a me posent problème. merci d'avance à toutes les personnes qui pourront m'aider. 
rebonjour,
j'ai trouvé la question 2)b mais je bloque encore sur la 1)b et sur la 3)a où il faut justifier que l'angle A'IB est supplémentaire à l'angle AIB.
merci beaucoup pour votre aide...
Bonjour bobneedhelp et saturn .
1)a)_MOT est rectangle enT : donc MT²=MO²-R² >>> c'est la
puissance de M par rapport à C: MA.MB=MT².
__b)_AB=MT. MA.MB=AB² devient MA(MA+AB)=AB² ou MA²/AB²+MA/AB=1 ,
___en posant MA/AB= x , ... OK?
2)a)_EA.EB=EC.ED puissance de E par rapport au cercle.
__b)_réciproque: si D' est le point d'intersection du cercle circonscrit au triangle ABC avec EC: on a MC.MD'=P(E)=MA.MB,
donc MC.MD'=MC.MD >>> D et D' sont confondus.
________________
3)??? a)Qu'est ce que ces 2 cercles circonscrits???
______b)AI est une médiatrice ??? de quoi???
Bien,AI est la BISSECTRICE de BÂC et le cercle(I,r) est INSCRIT
dans le triangle ABC.
3)a)__AI est la bissectrice de  donc BÂA'=A'AC >> les arcs BA'=A'C;
______les angles inscrits A'BC et BA"A' qui interceptent 2 arcs égaux
cont égaux.
__BI est la bissectrice de CBA:A'BI=A'BC+CBI=(AC+ABC)/2
__AIB=Pi-(IAB+IBA) (somme des angles d'un triangle)
donc A'BI et AIB sont supplémentaires,et A'IB=A'BI:IA'B isacèle en A'.
...........essayez de poursuivre .....
bonjour rolands,
merci pour ton aide.
Pourrais-tu m'expliquer ton raisonnement pour montrer l'angle A'IB est supplémentaire à l'angle AIB car je n'ai pas compri ce que tu as fait? (question 3a).
j'ai compris ton explication pour la question 1b mais on ne trouve pas x²-x-1=0 avec ton raisonnement? (on trouve x²+x-1=0 non?)
merci d'avance.
j'ai compris la question 3a mais en revanche la 1b me pose toujours problème. j'ai compris le raisonnement mais je ne trouve pas une équation du type x²-x-1=0.
merci pour votre aide.
Salut saturn,tu as raison on trouve x²+x-1=0,je ne comprends pas!
Mais,si on veut trouver x²-x-1=0 il suffit d'écrire,puisque AB²=BA²,
_MA(MA+AB)=BA² >> MA²+MA.AB=BA² >> MA²/BA²+MA.AB/BA²=1,ou
MA²/AB²+MA.BA/BA²=1 >> MA²/AB²+MA/BA-1=0 >> (MA/AB)²-MA/AB-1=0,
ou x²-x-1=0 . Mais c'est une énigme et si on te donne une explication,transmets la moi . Merci et bonsoir
Bonsoir à tous.
Afin d'ôter tous les doutes, il est impossible que soit dans le rapport d'or. En effet, A étant le premier point d'intersection d'une sécante au cercle passant par M et le cercle, la distance MA est inférieure à MT=AB et donc
. Je suggère donc que ce soit le rapport
qui soit le rapport d'or car de l'expression
, en posant
, on a
, cqfd.
Par contre, si A est le deuxième point d'intersection (voir dessin), alors on a : car
et
sont colinéaires mais de sens contraires. En divisant cette dernière égalité par
et en posant
, tout en sachant que
, il vient :
.
Voilà. A+
Petite erreur de Latex :
Pour la première intervention : Je suggère donc que ce soit le rapport qui soit le rapport d'or car de l'expression
, en posant
, on a
, cqfd.
Rectification faite.
OK ma-cor,je devenais dingue car j'aboutissais à x²+x-1=0!
Au revoir.
bonsoir,
oui c'est ca les vecteurs sont de sens contraires et après plusieurs réflexions j'avais aboutis aux mêmes conclusions que ma_cor. il fallait faire attention aux sens des vecteurs.
merci à vous.
rebonjour,
après avoir relu ta réponse ma_cor je ne suis pas d'accord avec.
moi, j'ai bien trouvé que le rapport MA/AB est égal au nombre d'or.
j'ai fait :
vectMA.vectMB=MT²
vectMA.vectMB=AB² car AB=MT
vectMA.(vectMA+vectAB)=AB²
vectMA²+vectMA.vectAB=AB²
MA²-MAxAB=AB² car les vecteurs sont colinéaires mais de sens contraires
(MA/AB)²-MA/AB-1=0
on retrouve l'équation de type x²-x-1=0 donc le rapport MA/AB est égal au nombre d'or.
mon raisonnement est-il juste?
au revoir!
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