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DM limites

Posté par
hamzaziyad
10-02-11 à 14:08

\lim_{x\to [!!!smb]pi[!!!/smb]pi} \frac{1}{1-[!!!smb]pi[!!!/smb]pi}(sqrt{\frac{4cos²(x)}{2+cos(x)}}-2)

Posté par
hamzaziyad
re : DM limites 10-02-11 à 14:13

Bonjour, (désolé pour le message précedent)
Voila une limite que je n'arrive pas encore à résoudre :
\lim_{x\to pi} \frac{1}{1-pi}(sqrt{\frac{4cos²(x)}{2+cos(x)}}-2)

Posté par
PloufPlouf06
re : DM limites 10-02-11 à 14:34

Bonjour,

C'est pas plutôt :

\lim_{x\to \pi} \frac{1}{x-\pi}(\sqrt{\frac{4cos^2(x)}{2+cos(x)}}-2)

?

Posté par
hamzaziyad
re : DM limites 10-02-11 à 14:38

oui ceci

Posté par
PloufPlouf06
re : DM limites 10-02-11 à 14:58

Alors

Tu multiplies en haut et en bas par \sqrt{\frac{4cos^2(x)}{2+cos(x)}}+2 ce qui donne :

\frac{1}{x-\pi}\frac{\frac{4cos^2(x)}{2+cos(x)}-4}{\sqrt{\frac{4cos^2(x)}{2+cos(x)}}+2}

Le dénominateur tend vers 4 donc ça donne :


\frac{1}{x-\pi}(\frac{cos^2(x)}{2+cos(x)}-1)

En réduisant au même dénominateur (qui tend vers 1), on a :

\frac{1}{x-\pi}(cos^2(x)-cos(x)-2)

On veut la limite de cette expression quand x->Pi, ce qui revient au même en posant h=x-Pi de chercher la limite quand h->0 :

\lim_{x\to \pi} \frac{1}{x-\pi}(cos^2(x)-cos(x)-2) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(cos^2(h+\pi)-cos(h+pi)-2)

Soit en transformant les cosinus :

= \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(cos^2(h)+cos(h)-2) = \lim_{h\to 0} \frac{cos(h)-1}{h} + \lim_{h\to 0} \frac{cos^2(h)-1}{h}

Or chacun des termes tend vers 0, (car on reconnaît les dérivées de cos(x) et cos²(x) en 0 qui valent 0).

D'où la limite recherchée est 0

Posté par
hamzaziyad
re : DM limites 10-02-11 à 15:53

Merci rien à dire, mais nous n'avons pas encore etudier la derivation
le professeur ( qui est quelqu'un de très méchant ) ne va pas accepter la réponse
Merci en tous cas je vais essaier de trouver \lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h}

Posté par
PloufPlouf06
re : DM limites 10-02-11 à 16:01

Tu connais \lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1   ?

Si tu ne l'as pas vu, tu ne pourras pas démontrer "facilement" \lim_{x\to 0} \frac{cos(x)-1}{x} = 0

Posté par
hamzaziyad
re : DM limites 10-02-11 à 16:11

je l'ai trouvé
  
\lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h}

=\lim_{h \to 0} [\frac{cos(h)}{h} - \frac{1}{h}]

=\lim_{h \to 0} [\frac{sin(h).h}{h.tg(h)}.\frac{1}{h} - \frac{1}{h}]

=\lim_{h \to 0} [\frac{sin(h).h}{h.tg(h)}.\frac{1}{h} - \frac{1}{h}]

=\lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} - \frac{1}{h}]

= 0

Merci ^^

Posté par
PloufPlouf06
re : DM limites 10-02-11 à 16:13

Donc tu connais ce que je t'ai demandé avant

Y a pas de quoi



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