supposons pour simplifier que le cercle a un rayon = 1

soit a=angle (OB,OM)

M a pour coordonnées (cos(a), sin(a)) dans le repère orthonormée (O,i,j)
i est porté par OB et j lui est directement perpendiculaire.

OH=cos(a) et HM=sin(a)

ON a pour coordonnées
(Xn,Yn)=(|sin(a)|cos(a),|sin(a)|cos(a))

car ||ON||=||HM||=||sin(a)j||=|sin(a)|*||j||=|sin(a)|

si a E [O,Pi] alors |sin(a)|=sin(a)
si a E [Pi,2Pi] alors |sin(a)|=-sin(a)

donc si a E [O,Pi] alors Xn=sin(a)cos(a)=Sin(2a)/2
                                      Yn=sin(a)sin(a)=(1-cos(2a))/2

donc 2Xn=sin(2a)
        (1-2Yn)=cos(2a)
comme sin²(2a)+cos²(2a)=1

donc 4Xn²+4(Yn-1/2)²=1

donc Xn²+(Yn-1/2)²=1/4

si a  E [Pi,2Pi] on montre de la même manière que :

Xn²+(Yn-1/2)²=1/4
(faites les calculs SVP)

donc le lieu de N est le cercle de centre(0,1/2) et de rayon 1/2.

voila je vous remercie.