Bonjour,

pour 6 marches j'en trouve 13 :

1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+2
1+1+1+2+1
1+1+2+1+1
1+2+1+1+1
2+1+1+1+1
1+1+2+2
1+2+1+2
1+2+2+1
2+1+1+2
2+1+2+1
2+2+1+1
2+2+2

pas fait pour 7 marches
l'interrogation de l'OEIS (encyclopédie des suites) avec 1, 2, 3, 5, 8, 13
(une marche = 1 façon, 2 marches = 2 façons, 3 marches etc = énoncé et calculs ci dessus) donne essentiellement la suite de Fibonacci (en tête d'une liste de 149 suites différentes qui contiennent cette sous suite)

donc pour l'instant (voir avec 7 marches mais fastidieux et risque de plus en plus élevé d'en oublier) on a pour conjecture que ce serait la suite de Fibonacci
comment prouver ou infirmer cette conjecture ?
pour l'instant pas d'idée.
la suite de Fibonacci donne 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ..., au moins d'accord avec ton S(7) = 21 !

suite ()

en fait c'est bien la suite de Fibonacci.
c'est à dire S(n) = S(n-1) + S(n-2)

cette formule se démontre en ajoutant une marche à un escalier de n-1 marches
on peut alors commencer par un pas de 1 puis S(n-1) possibilités ensuite
ou un pas de 2 et S(n-2) possibilités ensuite
(j'ai un peu triché, vive Internet)

Ouh je ne pensais pas que ce serait aussi difficile...
Si j'ai bien compris, c'est cette suite qui me permettrais de trouver le résultat, je devrais donc marquer à chaque fois la formule? Pour chaque façon différentes?

Le n représente le nombre de marches, mais je n'ai pas compris ce que représente le S :s

S(n) c'est le nombre de façons de grimper l'escalier de n marches
(c'est une notation, comme une "fonction" de n)

escalier de 1 marche : S(1) = 1 (évident)
escalier de deux marches S(2) = 2 (évident)
escalier de 3 marches S(3) = 3 (énoncé)

et à partir de là on effectue une "récurrence" qui consiste à dire que de façon générale toutes les façons de monter n marches sont obtenues :
soit en commençant par monter 1 marche et il en reste n-1, de S(n-1) façons
soit en commençant par monter 2 marches et il en reste n-2, de S(n-2) façons.
et donc que le nombre de façon de monter n marches est la somme des nombres de façons de monter n-1 marches et de monter n-2 marches
c'est cela la "récurrence" on déduit le nombre de façons de monter n marches des deux résultats précédents (pour n-1 et n-2), et ce "de proche en proche"


on peut vérifier que c'est déja vrai pour n = 3 : S(3) = S(2) + S(1) = 2 + 1 = 3

et tes résultats donnent bien S(4) = S(3) + S(2) = 3 + 2 = 5
S(5) = S(4) + S(3) = 5 + 3 = 8
S(6) = S(5) + S(4) = 8 + 5 = 13 (tu en avais oublié une)
S(7) = S(6) + S(5) = 13 + 8 = 21
etc ...
tu n'as plus qu'à continuer "de proche en proche" ce simple calcul jusqu'à S(17) ...