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DM Math Specialité

Posté par
Kaimoon
17-01-19 à 15:02

Coucou,

J'ai une DM de math spé au dessous
On considere la suite de nombres f définie sur N par f (n) = x^4+64
1.a vérifier, à l'aide de la calculatrices, et les termes de la suite sont tous composes pour n à 5 => complété

b. Quelle conjecture-peut-on faire sur la divisibilite de f(n) pour n non multiple 5?
Démontrer cette propriété à l'aide des congruences

c. Justifier que si n est pair, f(n) est pair

2.a Verifier que pour n=1, 3 et 5, f(n) s'ecrit comme un produit de 2 nombre premiers mnxMn' ou mn<Mn'
b. On y=x^2+4x+8 et y'=X^2-4x+8
Quelle factorisation peut-on deduire pour f(n)? => complété
c. Démontrer que f(n) est composé pour tout n entier naturel

Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:12

Bonjour

1.b) Quelle conjecture as-tu fait?

c) Indication; si n est pair, toutes ses puissances le sont.


2.a) Il n'y a qu'à écrire.

b) Mets la factorisation que tu as trouvée.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:37

Salut,

À question 1b, Je pense que on doit faire avec n=1, n=2 et n=3.
Avec n=1, c'est bon. Mais pour n=2 et  n=3?

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:38

Eh bien, que trouves-tu pour f(2)?

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:43

Non,

Pas encore. Je  prouve avec 2n, on a f(2n)= 16xn^4+64 = 16(n^4+4) mod (5)?
=> n^4+4 mod (5) ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:44

Oui, ça c'est bon, mais je ne sais plus à quelle question tu en es.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:47

Quelle question?
C'est une question dans une exercice de livre math Spe

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:47

Je ne vois pas pourquoi tu n'as pas écrit les valeurs de f(2) et f(3)

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:50

Si f(2)= 80
f(3)=145

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:51

Voilà! Ca vient avant les considérations sur f(2n). Bon, maintenant quelle est la conjecture?

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 15:58

Je pense que
Avec n, 2n et 3n, f(n) est toujour divisibilite par 5

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:03

Ce qu'on te demande est de dire quelque chose sur f(n) avec n non multiple de 5. En effet, il parait raisonnable de conjecturer que f(n) est divisible par 5, dans ces cas.

Tu dois donc montrer que n^4+64\equiv 0\pmod 5

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:07

Pour n^4+64 = 0 mod(5)
=> n^4 +65 -1 = 0 mod (5)

Donc on doit verifier n^4-1 = 0 mod (5)?

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:09

Exactement. Regarde ce qui se passe pour n congru à 1,2,3,4.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:13

Si n=1 => 1^4-1 = 0 mod (5)
n=2 => 2^4-1= 15 mod (5)
n=3 =>  3^4-1 = 90 mod (5)
n=4 => 4^4 -1 = 255 mod(5)

C'est vrai?

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:18

Juste une erreur bête 3^4=81, mais c'est OK.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:19

Ah merci.
Et comment on resoudre le question 2a)

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:21

Maintenant tu as f(1), f(2) et f(3). Tu peux les décomposer en nombres premiers sans difficulté.

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:25

Je dois partir. Je pense que maintenant tu peux te débrouiller pour finir, mais si tu as encore des difficultés quelqu'un prendra sûrement ma suite.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 17-01-19 à 16:30

Je pense que on doit calculer f(1), f(3) et f(5) parce que n=1,3 et 5
On a:
f(1)= 65= 5x17
f(3)=145=5x29
f(5)=689?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 17:28

Bonjour,
Je prends la suite

D'abord 2b) qui n'est pas terminé et mal présenté.
Ce n'est pas "n=3" mais n3 [5] par exemple.
Il reste à écrire que 15, 90 et 155 sont congrus à 0 modulo 5.

Pour 2)a), f(1) et f(3) sont bons.
f(5) = 689 est bon aussi. Tu n'as pas entré un programme pour décomposer dans ta calculatrice ?
Sinon, tu essayes avec 3 , 5 , 7 , 11 , ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 18:19

Bonjour,
attention comme déja souligné par Camélia 90, c'est pas bon (faute de frappe)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM Math Spe 17-01-19 à 18:27

Bonsoir mathafou
Oui, ce n'est pas 90 mais 80.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 18-01-19 à 03:31

Bonjour Sylvieg ,

Merci pour votre correction.
J'ai complete les question 2a) et 2b).

Comment on résoudre la dernière question?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM Math Spe 18-01-19 à 07:31

Bonjour,

Citation :
b) Mets la factorisation que tu as trouvée.

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Spe 18-01-19 à 07:43

On a : (x2+8)2 = x4+16x2+64

Donc: x4+64= (x2+8)2-(4x)2
= ((x2+8)-4x) ((x2+8)+4x)
= (x2-4x+8)(x2+4x+8)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM Math Specialité 18-01-19 à 08:44

Citation :
Quelle factorisation peut-on deduire pour f(n)?

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Specialité 22-01-19 à 11:13

Bonjour,

La factorisation de f(n)= (x2-4x+8)(x2+4x+8).
Mais qu'est-ce que je dois faire ensuite?

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM Math Specialité 22-01-19 à 11:26

faux (y a pas de "x" dans f(n)

ensuite ? bein la question suivante ...
c'est quoi la définition d'un nombre premier ?

Posté par
Kaimoon
re : DM Math Specialité 22-01-19 à 11:34

f(n)= (n2-4n+8)(n2+4n+8).

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM Math Specialité 22-01-19 à 12:11

oui, ou un nombre qui a pour seuls diviseurs 1 et lui-même (distincts)

alors d'après toi f(n) = (n2-4n+8)(n2+4n+8) ?



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