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DM Maths exercice nombres complexes nautile
Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un DM à rendre pour mercredi en scan.
J'ai réussi tout le DM excepté la dernière question, il s'agit d'un exercice dans lequel on souhaite déterminée l'aire de la coquille d'un nautile dans le plan.
Voici l'énoncé ainsi que mes réponses :
On veut modéliser dans le plan la coquille d'un nautile à l'aide d'une ligne brisée en forme de spirale. On s'intéresse à l'aire délimitée par cette ligne.
On munit le plan d'un repère orthonormal direct (O ; u→, v→).
Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
Pour tout entier k allant de 0 à n, on définit les nombres complexes zk=(1+k/n)*exp(i2kπ/n) et on note Mk le point d'affixe zk.
Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les points Mk avec 0 ≤ k ≤ n.
Partie A : Ligne brisée formée à partir de sept points
Dans cette partie, on suppose que n = 6.
Ainsi, pour 0 ≤ k ≤ 6, on a zk=(1+k/6)*exp(i2kπ/6).
▶ 1. Déterminer la forme algébrique exacte de z1.
▶ 2. Vérifier que z0 et z6 sont des entiers, que l'on déterminera.
▶ 3. Calculer la longueur de la hauteur issue de M1 dans le triangle OM0 M1, puis établir que l'aire de ce triangle est égale à 7*sqrt(3)/24.
Partie B : Ligne brisée formée à partir de n + 1 points
Dans cette partie, n est un entier quelconque supérieur ou égal à 2.
▶ 1. Pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, déterminer la longueur OMk.
▶ 2. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n − 1, déterminer une mesure des angles (u, OMk) et (u, OMk+1).
En déduire une mesure de l'angle (OMk, OMk+1).
▶ 3. Pour k entier tel que 0 ≤ k ≤ n−1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de Mk+1 dans le triangle OMk Mk+1 est égale à (1+(k+1)/n)×sin(2π/n).
▶ 4. On admet que l'aire du triangle OMk Mk+1 est égale à ak=1/2*sin(2π/n)×(1+k/n)(1+(k+1)/n) et que l'aire totale délimitée par la ligne brisée est égale à An = a0 + a1 + … + an−1.
L'algorithme suivant permet de calculer l'aire An lorsqu'on entre l'entier n :
Variables
A est un nombre réel
k est un entier
n est un entier
Traitement
Lire la valeur de n
A prend la valeur 0
Pour k allant de 0 à n −1
A prend la valeur A+1/2*sin(2π/n)×(1+k/n)(1+(k+1)/n)
Fin Pour
Sortie
Afficher A
On entre dans l'algorithme n = 10
Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre le fonctionnement de l'algorithme.
k : 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A : 0,323;0,711;1,170;1,705;2,322;3,027;3,826;4,726
▶ 5. On admet que A2 = 0, que la suite (An) converge et que lim(n→+ ∞)An=7π/3≈7,3.
Recopier et compléter les lignes L6 et L13 de l'algorithme ci-après qui permet de déterminer le plus petit entier n tel que An ≥ 7,2. On ne demande pas de déterminer n.
L1 Variables A est un nombre réel
L2 k est un entier
L3 n est un entier
L4 Traitement n prend la valeur 2
L5 A prend la valeur 0
L6 Tant que ………
L7 n prend la valeur n + 1
L8 A prend la valeur 0
L9 Pour k allant de 0 à n - 1
L10 A prend la valeur A+12sin(2πn)×(1+kn)(1+k+1n)
L11 Fin Pour
L12 Fin Tant que
L13 Sortie Afficher …………
Mes réponses :
Partie A :
▶ 1. D'après l'énoncé, en remplaçant k par 1, nous avons : z1=(1+1/6)*exp(i2×1×π/6)=(7/6)*exp(iπ3).
Par notation (forme exponentielle), il s'ensuit que : z1=7/6×(cos(π/3)+isin(π/3)).
z1=7/6×(1/2+i*sqrt(3)/2)=7/12+i7*sqrt(3)/12.
La forme algébrique du nombre complexe z1 est 7/12+i7*sqrt(3)/12.
▶ 2. Similairement à la question précédente, nous avons :
z0=(1+0/6)×ei2×0×π/6=ei×0=cos(0)+isin(0)=1+i×0=1 ;
z6=(1+6/6)×ei2×6×π/6=2×ei×2π=2×(cos(2π)+isin(2π))=2×(1+i×0)=2.
Les nombres complexes z0 et z6 sont des entiers.
▶ 3. Calculer l'aire d'un triangle
Dans le triangle OM0M1 appelons H1 le pied de la hauteur issue du sommet M1.
L'aire de ce triangle est par conséquent égale à OM0×H1M1/2.
La longueur de la « hauteur » issue de M1 correspond à la distance H1M1 qui n'est rien d'autre que la partie imaginaire du nombre complexe z1. Par suite, d'après la première question de cette partie, H1M1=Im(z1)=7*sqrt(3)/12.
La distance OM0 est le module du nombre complexe z0. Ainsi, d'après la deuxième question de cette partie, OM0=|z0|=|1|=1.
Donc l'aire du triangle OM0M1 est 1/2*(1×7*sqrt(3)/12)=7*sqrt(3)/24.
Partie B :
▶ 1. Soit k un entier tel que 0≤k≤n. La distance OMk est égale au module du nombre complexe zk. Il en découle que :
OMk=|zk|=∣(1+k/n)e(i2kπ/n)∣=∣1+kn∣×∣e(i2kπ/n)∣=1+k/n.
La longueur OMk est égale à 1+k/n.
▶ 2. Soit k un entier tel que 0≤k≤n−1.
Une mesure de l'angle orienté (u,OMk) est un argument du nombre complexe non nul zk. Comme zk=(1+k/n)e(i2kπ/n), nous avons :
(u,OMk)=arg(zk)=arg(e(i2kπn/))=2kπ/n.
De même, (u,OMk+1)=arg(zk+1)=2(k+1)π/n.
Par la relation de Chasles, nous avons :
(OMk,OMk+1)=(OMk,u)+(u,OMk+1) =−(u,OMk)+(u,OMk+1) =−(2kπ/n)+2(k+1)π/n =2πn.
Une mesure de l'angle (OMk,OMk+1) est 2π/n.
▶ 3. Soit k un entier tel que 0≤k≤n−1.
Dans le triangle OMkMk+1, appelons Hk+1 le pied de la hauteur issue du sommet Mk+1.
Dans le triangle rectangle OHk+1Mk+1, nous avons : sin((OHk+1,OMk+1))=Hk+1Mk+1OMk+1.
Or, les points O, Hk+1 et Mk étant alignés, nous avons : (OHk+1,OMk+1)=(OMk,OMk+1) [2π].
Mais, d'après la deuxième question de cette partie, une mesure de (OMk,OMk+1) est 2π/n. De plus, d'après la première question de cette partie, la longueur OMk+1 est égale à 1+(k+1)/n.
Il s'ensuit que sin(2π/n)=Hk+1Mk+1/1+(k+1)/ et donc la longueur de la « hauteur » issue de Mk+1 dans le triangle OMkMk+1, à savoir la distanceHk+1Mk+1, est (1+(k+1)/n)*sin(2π/n).
Remarque. Le cas n=2 est implicitement exclu de cette étude. Dans ce cas, la coquille d'un nautile est modélisée par la ligne brisée reliant les points M0, M1 et M2 d'affixes respectives z0=1,z1=−1,5 et z2=2. Ces points sont alignés sur l'axe des réels et les triangles à considérer sont ainsi aplatis. L'aire totale délimitée par cette ligne brisée est ainsi égale à zéro, ce qui est admis à la question 5.
▶ 4. Le tableau complété est le suivant :
k : 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
A : 0,323;0,711;1,170;1,705;2,322;3,027;3,826;4,726;5,731;6,848
▶ 5. Compléter un algorithme
Cet algorithme permet de déterminer l'indice à partir duquel tous les termes de la suite implicitement croissante (An) sont supérieurs ou égaux au réel 7,2. Pour ce faire, il doit calculer successivement chaque terme An de cette suite tant que la valeur obtenue est inférieure à 7,2.
La ligne 6 est par suite : « Tant que A<7,2 ». Une fois que cette condition n'est plus vraie, la dernière valeur prise par la variable n est l'indice recherché. Dans la phase de sortie, la ligne 13 est alors : « Afficher n ».
▶ 6. Prouver que lim(n→+ ∞)An=7π/3 (On rappelle : lim(n→0)sin(x)/x=1)
Pour que ces oit plus compréhensible voici un lien qui vous mènera vers la correction de ce DM : ****lien remplacé par le lien vers le sujet sur notre site : 
Bac S Centres Étrangers (Obligatoire et Spécialité) 2016 et son corrigé *****
Je sais que ce n'est pas autorisé sur le forum mais le sujet est vraiment long.
regarde là, nous avions mis la correction sur notre site à l'époque Bac S Centres Étrangers (Obligatoire et Spécialité) 2016 et son corrigé
Bonjour malou,
Merci pour votre réponse mais mon professeur à ajouter une question qui n'était pas posée dans le sujet que je n'arrive pas à résoudre.
Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un DM à rendre pour mercredi en scan.
J'ai réussi tout le DM excepté la dernière question, il s'agit d'un exercice dans lequel on souhaite déterminée l'aire de la coquille d'un nautile dans le plan.
Pour que ce soit plus compréhensible voici un lien qui vous mènera vers la correction de ce DM : https://www.ilemaths.net/maths_t_s_sujet-bac-2016-centres-etranger-exercices.php.
J'ai donc le corrigé de mon DM mais mon professeur de mathématiques à ajouter une question supplémentaire (qui n'était pas posé dans le sujet) : Prouver que lim(n tend vers +) An = 7
/3 (On rappelle que lim(n tend vers 0) sin(x)/x = 1).
Merci d'avance de votre aide.
*** message déplacé ***
Bonjour Sylvieg,
Je sais que le multi-post est interdit mais le sujet a été marqué comme résolu c'est pour cela que j'ai voulu poster un nouveau sujet.
Bonjour,
L'énoncé me semblait assez rébarbatif, mais l'amabilité de ta demande m'a motivée 
Finalement, rien de bien compliqué.
Une piste :
où
ak=(1/2)(1+k/n)(1+(k+1)/n)
sin(2π/n)
On peut poser bk = (1/2)(1+k/n)(1+(k+1)/n) .
On a alors
car
ne dépend pas de k.
Il te reste à calculer
et essayer de terminer.
Merci beaucoup de votre réponse Sylvieg. Cependant je n'arrive pas du tout à calculer excepté que je puisse sortir 1/2 de la somme. J'ai tout de même remarqué que que le motif 1+k+1/n se répète avec le motif 1+k/n suivant mais je n'arrive pas à l'exploiter.
Tu as le produit (1+k/n)(1+(k+1)/n) .
Égal à 1 + k/n + (k+1)/n + k(k+1)/n2 = 1 + k/n + k/n + 1/n + k2/n2 + k/n2
Tu sais calculer par exemple
Pour le k2, tu dois avoir déjà rencontré en exercice la somme de carrés successifs.
Je suis désolé Sylvieg mais je comprends ou vous voulez m'amener, pourtant j'essaie de développer ou de simplifier ce que vous m'avez donné comme expression mais je n'y arrive pas. J'ai trouvé : mais sans plus.
Je ne vois pas ce qu'est a dans ce que tu as écrit.
Après avoir transformé
, tu vas trouver pour
quelque chose de la forme
sin(2/n) (3/n + 5 + 7n) dont tu pourras trouver la limite.
Attention : Je n'ai pas mis le bon résultat.
J'ai écrit a comme un exemple mais je ne vois pas comment transformer . Je suis vraiment désolé mais je cherche sur Internet et je ne trouve rien.
Tu bloques sur la somme des ck avec
ck = (1+k/n)(1+(k+1)/n) = 1 + k/n + (k+1)/n + k(k+1)/n2 = 1 + k/n + k/n + 1/n + k2/n2 + k/n2 = 1 + 2k/n + 1/n + k2/n2 + k/n2
Avec 
de k=0 à n-1 :
1 = n , 2k/n = (2/n)k ,
1/n = (1/n)1 ,
k2/n2 = (1/n2)k2 ,
k/n2 = (1/n2)k
A toi de continuer à transformer ces .
Par ailleurs, An = (1/2)sin(2/n) ck
On veut y utiliser la limite de (sin(x))/x quand x tend vers 0.
Ici, c'est 2/n qui tend vers 0.
D'où l'idée de faire apparaître (sin(2/n)) / (2/n) :
An = [sin(2/n) / (2/n)](/n) ck
La limite de [sin(2/n) / (2/n)] sera égale à 1.
Reste à trouver la limite de ce qui est derrière.
Bonjour Sylvieg,
J'ai fait ce que vous m'avez dit et j'ai réussi!
J'ai calculé et additionné toutes les sommes et je trouve :
An = (1/2)*sin(2/n)(n+n-1+1+n/3-1/2+1/6n+(n-1)/2n) = (sin(2/n)/2/n)*((7n2-)/3n2)
La limite de (sin(2/n)/2/n) est 1 car 2/n tend vers 0 lorsque n tend vers + et la limite de (7
n2-)/3n2) est 7/3 lorsque n tend vers +.
On en déduit que le limite An est 7/3.
Merci beaucoup de votre Sylvieg
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