Devoir maison - Le saut de Spider-Man

Dans l'univers des personnages Marvel, Spider-Man est probablement l'un des personnages les plus connus. Mordu par une araignée radioactive, l'étudiant Peter Parker est devenu ce héros aux super-pouvoirs qui se charge de veiller sur la ville de New York. Parmi les pouvoirs de Spider-Man, celui du lance-toile est l'un des plus iconiques : en lançant une toile contre un mur, Spider-Man peut s'y accrocher comme à une corde et ainsi se déplacer très rapidement entre les buildings de Manhattan.

Dans ce problème, on propose de faire une modélisation de ce que peut être un saut de Spiderman entre deux buildings. Cette modélisation est représentée sur la Figure ci-dessous. On suppose que Spider-Man se trouve en un point S en haut d'un building de 60 mètres. Pour atteindre un point I donné sur un building de 90 mètres de hauteur opposé au loin à 40 mètres, Spider-Man fait un bond de 4 mètres de long et de 1 mètre de hauteur pour se retrouver au point B. Pendant son bond, il projette sa toile sur un point P, situé sur le building opposé au-dessus du point T. Il s'y accroche pour s'y balancer comme pour un pendule (on suppose que la toile reste tendue, de longueur BP), faisant ainsi un arc de cercle qui l'amène au point I.

SA = 40 m BJ = AT = 1 m SC = AF = 60 m AJ = BT

Les objectifs de ce problème sont, dans différentes situations, de situer où Spider- Man atterrit en fonction de la où il accroche sa toile ou inversement, de déterminer là où il doit accrocher sa toile s'il veut atteindre un point précis sur l'immeuble opposé.

EF = 90 m SJ = 4 m PB = PI (CF) // (SA) // (BT) 41

On appellera dans ce problème :

A- point du building opposé de même hauteur que S.
T- point du building opposé de même hauteur que B.

Partie A- Le point le plus haut

On suppose que Spider-Man accroche sa toile au sommet du building opposé, donc au point E.

1) Modéliser la situation en construisant une figure (on prendra 1 cm pour 4 m).

2) a) Donner, sans justification, les distances réelles TE et TB.

b) En déduire la distance EB (valeur exacte puis arrondi au cm).

3) Conclure en indiquant dans ce cas où se trouve le point I par rapport à A.

Partie B- Un point précis à atteindre

Dans cette partie on admet que Spider-Man accroche sa toile quelque part au-dessus du point T.

1) Modéliser la situation en construisant une figure (on prendra 1 cm pour 4 m). On appelle x la distance PA

2) Expliquer pourquoi x > 1.

3) Exprimer la distance TP en fonction en x.

4) On appelle f la fonction qui au nombre x fait correspondre la distance PB. Prouver soigneusement que f(x) = Vx2 - 2x + 1297.

On suppose que Spider-Man veut atteindre un point I situé à 30 mètres en dessous de A.

5) On appelle g la fonction qui au nombre x fait correspondre la distance Pl. Déterminer l'expression de g en fonction de x.