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DM Maths TS Trigonométrie exo 2

Posté par
minion 11-11-16 à 20:42

Bonjour, j'aimerais vous demander votre aide pour un DM de maths sur lequel je bloque depuis 2 jours et que je dois rendre pour lundi

Exercice 1 : ******

Exercice 2 :
Le but est d'estimer la longueur l de l'arc de courbe représentative de la fonction sinus sur \left[0,\pi \right]. Pour cela, on subdivise \left[0,\pi \right] en n (\geq 2) intervalles de longueur \pi /n et on approche la courbe de sin par une ligne brisée qui relie dans l'ordre les points Ak de coordonnées (k\pi /n;sin(k\pi /n)), k \epsilon\left(0;n \right) entiers.
On appelle ln la longueur de cette ligne brisée: ln=\sum_{k=0}^{k=n-1}{AkAk+1}.

1. Montrer que l2=2\sqrt{1+\frac{\pi ^2}{4}}. Calculer la valeur exacte de l3.

J'ai trouvé l2=\sum_{k=0}^{k=2-1=1}{A1A1+1=2}
et donc les coordonnées sont A0(0 ; 0)  A1(\pi /4 ; sin\pi /4) et A2(2\pi /4 ; sin2\pi /4).

J'ai donc cherché d'abord A0A1= \sqrt{(Xb-Xa)^2+(Yb-Ya)^2}
Je trouve alors \sqrt{\pi^2 /4+2}.
Mais je trouve également le même résultat pour A1A2. Ensuite j'ai additionné A0A1+A1A2= 2\sqrt{\pi^2 /4+2}
Mais ce que je dois trouver est  l2=2\sqrt{1+\frac{\pi ^2}{4}}  Où ai-je fais l'erreur ?

2. L'algorithme suivant, destiné à afficher en sortie la longueur ln en fonction de n, est incomplet.

Variables: i,n,L sont des nombres
Traitement:
Donner à L la valeur 0
Donner une valeur à n
Pour i allant de 1 à n
L prend la valeur ....
Fin Pour
Sortie: Afficher L

(a) Compléter l'algorithme.
Je pensais à "L prend la valeur :\sqrt{\left(\frac{i*\pi }{n}\right)^2 =\left(\frac{sin(i+1)*\pi }{n} \right)-\left(\frac{sin\left(i*\pi^ \right)}{n} \right)^2}
Est-ce correct ?
(b) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice.
(c) Afficher l1000.

3.(a) Modifier l'algorithme précédent pour approcher l'aire An du domaine délimité par la ligne brisée A0,A1...An et l'axe des abscisses.
(b) Calculer A1000 et conjecture que cette aire semble tendre vers 2 quand n tend vers +\propto.
(c) En déduire que \lim_{n\rightarrow +\propto }1/n\sum_{k=1}^{k=n}{sin(k\pi /n)=\frac{2}{\pi} }.

Merci d'avance pour votre aide !

*** message dupliqué ***1 sujet= 1 exo ton autre exercice est dans un 2e sujet ouvert à ton nom

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 11-11-16 à 21:00

Attention ... Tes coordonnée de A2 sont fausses .. C'est Ak+1 et pas Ak+ 1...

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 02:47

Rebonsoir Nofutur2! Oui, c'est une erreur de ma part c'est bien Ak+1.
J'ai corrigé ls coordonnées de A2(\pi /2 ; sin\pi /2)
Et du coup j'ai réussi à trouver l2.
Pour l3 j'ai cherché la distance A2A3= \sqrt{\frac{\pi ^2}{4}-1}
Alors, j'ai trouvé: l3=2\sqrt{1+\frac{\pi ^2}{4}}+\sqrt{\frac{\pi ^2}{4}-1}=4,935555101
Est-ce bon ?

(a) Finalement, je pense que c'est  "L prend la valeur L+\sqrt{(\frac{(i+1)*\pi }{n}-\frac{i*\pi }{n})^2+(sin\frac{(i+1)*\pi }{n}-sin\frac{i*\pi }{n})^2}  "

(c) Ce qui me donne pour l1000=3,760897153... ce qui n'est pas plausible je pense.

3.(a)
Je ne comprend pas très bien la question mais je pensais modifié déjà L par A,  ensuite "Pour i allant de 1 à n " en "Pour i allant de 0 à n-1" et "L prend la valeur ..." je ne sais pas mais je pense que c'est en rapport avec la question 3(c).

Soit:
Variables: i,n,A sont des nombres
Traitement:
Donner à A la valeur 0
Donner une valeur à n
Pour i allant de 0 à n-1
L prend la valeur ....
Fin Pour
Sortie: Afficher A

Pouvez-vous m'aidez à rectifier mes erreurs s'il-vous-plaît

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 06:15

I3 est faux .. Refais tes calculs..
La valeur de L dans l'algorithme est presque bon ..
- il y a un problème d'indice (i va de 1 à n et pas de 0 à n-1)
- la première parenthèse se simplifie..

Pour le 3) écris correctement les coordonnées d'point Ai et rappelle toi la formule de l'aire d'un trapèze..

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 06:23

Ta formule pour I1000 est tout à fait plausible ..
Par le calcul, la longueur de la sinusoide y=sinx entre o et pi est égale à 3,82 environ..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 11:17

Merci pour ta réponse. Exercice 2-1. ) J'ai refait mon calcul : A2 A3 = \sqrt{(\frac{\pi }{4})^2+(sin\frac{3\pi }{4}-sin\frac{\pi }{2})^2}
= \sqrt{(\frac{\pi }{4})^2+(sin\frac{3\pi }{4}*cos\frac{\pi }{2}-sin\frac{\pi }{2}*cos\frac{3\pi }{4})^2}
= \sqrt{(\frac{\pi }{4})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}*0-1*\frac{-\sqrt{2}}{2})^2}
=\sqrt{\frac{\pi ^{2}}{4^2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}
=\sqrt{\frac{1}{4}*(\frac{\pi ^2}{4})+2)}
=\sqrt{\frac{1}{4}}*\sqrt{(\frac{\pi ^2+8}{4})}
=\frac{1}{2}}*\sqrt{(\frac{\pi ^2+8}{4})}
=\sqrt{(\frac{\pi ^2+8}{8})}
=\sqrt{\frac{\pi ^2}{4}+1}

Et donc l3 = 3\sqrt{\frac{\pi ^2}{4}+1}=5,586287667

2(a) Dans l'algorithme, il faut juste que je simplifie par \sqrt{(\frac{i*\pi }{n})^2}

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 11:24

C'est encore faux pour I3...
Ecris "proprement" les coordonnées de A0,A1,A2 et A3.. et envoie le résultat.
On ne va pas recommencer les échanges de message à l'infini..
Cet exercice ne présente aucune difficulté, ce n'est que du calcul.. et c'est toi qui dois le faire (pas moi)...
Donc écris proprement , relis toi et ne poste que quand tu es sûr..

On verra l'algo après.

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 12:51

Je suis désolé de poster alors que je n'ai toujours pas la réponse.
Mes coordonnées sont  A0(0 ; 0)    A1(/4 ; sin/4)  A2(/2 ; sin /2) et   A3(3/4 ; sin 3/4)  Pouvez-vous me les confirmer ?
Car je retrouve toujours la même chose pour la distance A2A3.

Ou est-ce que je me suis trompé dans le calcul de l3 en lui-même parce pour moi l3= l2+ A2A3.

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 13:18

Réfléchis .. !! en combien d'intervalles as tu partagé [0,1]... C'est L3 qu'on calcule !!
En plus, réfléchis avant de poster, parce les rémarques du style

Citation :
...parce pour moi l3= l2+ A2A3.

qui ne sont fondés sur aucune analyse sérieuse sont à bannir.
Les maths c'est pas des devinettes, tu sais...
Et comme je te l'ai dit, je voudrais éviter des dizaines de questions du style "peux tu me dire si c'est ça ??" sans qu'il y ait une vraie réflexion de ta part en amont..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:21

Je suis désolé, je voulais en aucun cas faire ce genre de remarque. Je voulais dire d'après ce que j'ai compris. Donc je reprends d'après ce que tu m'as dit, \left[0;\pi \right] est divisé en n intervalles de longueur \pi /n et je pense donc que  pour l3 il est divisé en 3 intervalles de longueur \pi /3
Sur la ligne brisée il y a donc 4 points de coordonnées A0(0 ; 0)  A1( \pi /3 ; sin \pi /3)  A2( 2\pi /3;  sin2\pi /3) et A3( ; sin ) .
Du coup, j'ai calculé A0A1= \sqrt{\pi ^2+ \frac{3}{4}} ,
A1 A2= \frac{\pi }{3},
A2A3=\sqrt{\pi ^2-\frac{3}{4}}.

Et puisque l3=\sum_{k=0}^{k+3-1=2}{A2A2+1=3}
( en précisant que 2 et 2+1=3 devant les A sont en indice)

Et donc d'après ce que j'ai compris l3=  A0A1+A1 A2+A2A3=\sqrt{\pi ^2+ \frac{3}{4}}+\frac{\pi }{3}+\sqrt{\pi ^2-\frac{3}{4}}= 7,56474452

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:25

Je t'ai dit de ne poster que quand tu auras revu et vérifié tes calculs !!!
Remplace les coordonnées des points par des valeurs et recalcule la longueur de chaque segment !!
Tu écris vraiment n'importe quoi !!! Vérifie !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:41

Bah pendant ces quatres heures j'ai pas arrêté de refaire les calculs , je pensais vraiment que c'était ça... Bon je vais refaire les calculs.

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:43

4h !!! pour sortir ça ?? Y a 3 longueurs à calculer !!!

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:48

Pour l'instant, fais ce que je t'ai demandé ..

Citation :
Remplace les coordonnées des points par des valeurs et recalcule la longueur de chaque segment !!

Et envoie tout ça ..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 17:58

Oui je suis en train de le faire et je t'envoie ça.

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 19:36

Voilà alors j'ai remplacé les coordonnées par des valeurs A0(0 ; 0)  A1( \pi /3 ; 3/2)  A2( 2\pi /3;3/2);   et A3( ; 0 )

Oh purée, mais je dois avoir fait des grosses erreurs de calculs  parce que je retrouve toujours le même résultat !
A0A1= \sqrt{\left(\frac{\pi }{3} -0\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-0 \right)^2}
=\sqrt{\frac{\pi ^2}{9}+\frac{3}{4}}
=\sqrt{\frac{4\pi ^2+27}{36}}
=\sqrt{\frac{4\pi ^2+3}{4}}
=\sqrt{\pi^2+\frac{3}{4}}

A1A2=\sqrt{\left(\frac{2\pi }{3} -\frac{\pi }{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)^2} =\frac{\pi }{3}

A2A3= A2A3=\sqrt{\pi ^2-\frac{3}{4}}

Mais bon, j'ai beaucoup trop de difficultés sur ce problème, je ne trouverai jamais la réponse. J'ai l'impression que mes coordonnées sont fausses et segments aussi. Merci de m'avoir aidé tout de même et pour ta patience Nofutur2.

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 19:43

La deuxième ligne de A0A1 est bonne (inutile de mettre sur le même dénominateur).
A1A2 est bon.
et A2A3=A0A1 par symétrie ..
Tu vois .. Inutile de calculer la valeur approchée !!

Maintenant calcule les coordonnées de Ak, de Ak+1, et la longueur de Ak Ak+1... Courage !

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:11

Merci Nofutur2!
Les coordonnées de Ak ( \frac{k\pi }{n};sin\frac{k\pi }{n})  Ak+1 ( \frac{k+1\pi }{n};sin\frac{k+1\pi }{n})

Longueur Ak Ak+1 = \sqrt{\left(\frac{k\pi }{n} \right)^2+\left(sin\frac{(k+1)\pi }{n} \right-sin\frac{k\pi }{n})^2}

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:20

C'est tout bon  !! Bravo

Maintenant tu vas pouvoir compléter l'algorithme ....
C'est une somme de longueurs Ai-1Ai.. Transpose ce  que tu as trouvé pour k en i mais un rang avant car i varie de 1 à n ...
Dis moi ce que tu trouves ..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:26

:o Merci

Variables: i,n,A sont des nombres
Traitement:
Donner à A la valeur 0
Donner une valeur à n
Pour i allant de 0 à n-1
A prend la valeur A+\sqrt{\left(\frac{i\pi }{n} \right)^2+\left(sin\frac{(i+1)\pi }{n} \right-sin\frac{i\pi }{n})^2}
Fin Pour
Sortie: Afficher A

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:32

Tout d'abord c'est L, pas A !!
En plus je n'ai pas vu une erreur c'est ((/n)2) et pas  ((k*/n)2) ..
Enfin ton énoncé parle  de i variant de 1 à n ...donc il faut décaler les i de -1....
i donne i-1 et i+1 donne i...

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:40

Ah oui d'accord, je vais corriger ça :
Variables: i,n,L sont des nombres
Traitement:
Donner à L la valeur 0
Donner une valeur à n
Pour i allant de 1 à n
L prend la valeur L+\sqrt{\left(\frac{\pi }{n} \right)^2+\left(sin\frac{i\pi }{n} \right-sin\frac{(i-1)\pi }{n})^2}
Fin Pour
Sortie: Afficher L

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 20:46

C'est ça !! Super ...

Pour l'aire pense que ce sont des trapèzes (au lieu de segments) et que l'aire d'un trapèze est le produit de la demi somme des bases par la hauteur ..
Pars des points Ai-1 etAi... Récris les coordonnées et calcule l'aire du trapèze construit sur ces deux points et leur projection sur l'axe des abscisses ..
Bon courage ..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:25

Aire trapèze= An= 1/2 + (B+b) x h
Ai-1( \frac{\left(i-1 \right)\pi }{n} ; sin\frac{\left(i-1 \right)\pi }{n}) et Ai( \frac{i\pi }{n} ; sin\frac{i\pi }{n})

On remplace ensuite:
An= 1/2 + (B+b) x h
= 1/2 +(sin\frac{\left(i-1 \right)\pi }{n} +sin\frac{i\pi }{n}) x 1/n  
Et donc .. A1000=1,57 environ ce qui me semble plausible j'espère..

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:32

La formule de Ai comporte des erreurs :
- c'est (1/2)* et pas +
- c'est pas 1/n mais ... ???

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:42

Ah oui, je me suis trompé avec le +, c'est bien x.
Mais n ?

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:44

On divise quoi par n pour avoir la hauteur de chaque trapèze ??  1 ou ....

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:47

Je pense /n

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:48

Tu penses ?? ou t'en es sûr ?

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:54

Oui, j'en suis sûr!

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 21:57

Ok .. Donc tu peux réécrire l'algorithme pour A ...
Il ressemble à celui pour L...
Pour la suite .. Attention .. aux deux extrémités c'est deux triangles mais leur surface peut être calculée comme celle d'un trapèze avec une deux deux bases nulle.  On verra .

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 22:22


Variables: i,n,A sont des nombres
Traitement:
Donner à A la valeur 0
Donner une valeur à n
Pour i allant de 1 à n
A prend la valeur A+ 1/2 *(sin\frac{\left(i-1 \right)\pi }{n} +sin\frac{i\pi }{n}) * \pi/n  
Fin Pour
Sortie: Afficher A

(b) A1000=0,9999991 mais cela semble tendre vers 1 plutôt que vers 2.

3(c) La surface des 2 triangles
Atriangles= 2(1/2 * B * h)
=2(1/2 * sin \frac{i\pi }{n} * \frac{\pi}{n})

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 22:37

Non L'algorithme est bon.. Mets tout ce qui peut être factoriser devant la somme des sinus ..
Pour la suite , tu vas écrire les formules :
- le triangle A0A1 et les trapèzes A1A2 et  A2A3
- les trapèzes Ai-1Ai et AiAi+1
- le trapèze An-2An-1 et le triangle An-1An

Le but c'est de calculer l'aire avec un sigma de i=1 à n...
Tu vas voir :
- si on ne peut mettre un truc en facteur devant tous les termes.
- si les termes ne se combinent pas entre voisins..

Tu réfléchis et tu écris la formule de A avec le sigma ..

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 23:27

Ah oui, je ne vois pas par ce que tu entends "par tout ce qui peut être factoriser"

Nofutur2, je pense que je ne vais pas pouvoir trouver la solution à cette dernière question. Je suis épuisé, et je dois encore réviser pour mon DS de maths demain .
Merci beaucoup pour ton aide, j'aurais jamais réussi sans tes indications ! Bonne soirée !

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 13-11-16 à 23:49

ok ..
- il faut mettre /2n en facteur ..
- il faut observer que les bases de deux trapèzes adjacents ( la base de droite de l'un est  égale à la base de gauche de celui qui est à sa droite)..
ce qui donne donc :
A= \frac{\pi }{2n}\sum_{i=1}^{i=n}{(2sin(\frac{i\pi }{n})})
soit A=\frac{\pi }{n}\sum_{i=1}^{i=n}{sin\frac{i\pi }{n}}

Comme la limite de A est 2, on a
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\pi }{n}\sum_{i=1}^{i=n}{sin\frac{i\pi }{n}}=2

et donc
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1 }{n}\sum_{i=1}^{i=n}{sin\frac{i\pi }{n}}=\frac{2}{\pi }

Bonne nuit !!!

Posté par
minionre : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 15-11-16 à 18:35

Merci beaucoup Nofutur2 pour ton aide et d'avoir pris le temps de m'expliquer ce que je ne comprenais pas !! ( et oh que oui y en avait beaucoup )  
Bonne continuation à toi !

Posté par
Nofutur2re : DM Maths TS Trigonométrie exo 2 15-11-16 à 18:40

Accroche toi pour le bac !!!
C'est toi qui devra résoudre les prochains problèmes sinon ça ne sert à rien !!


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