Bonsoir, j'ai un DM à rendre pour jeudi et je ne comprend pas comment faire. Voici l'énoncé :

Dans une île, les mouvements de population peuvent être modélisés ainsi : chaque année, 40 pour cent des habitants de la capitale quittent celle-ci pour aller vivre dans le reste de l'île, tandis que 20 pour cent des habitants du reste de l'île viennent y habiter. On néglige les autres échanges. On note a₀ le nombre d'habitants dans la capitale et b₀ le nombre d'habitants dans le reste de l'île. n désigne un entier naturel. Au bout de n années, a_n désigne le nombre d'habitants dans la capitale et b_n le nombre d'habitants dans le reste de l'île.

1. Justifier le fait que a₁= 0.6a₀+0.2b₀. Exprimer aussi b₁ en fonction de a₀ et b₀.
2. Pour tout n , déterminer a_n+1 et b_n+1 en fonction de a_n et b_n. On note A la matrice :
0.6  0.4
0.2  0.8
et, P_n la matrice : (a_n     b_n)

3. Vérier que P_n+1 = A × P_n.

4. (a) Expliquer pourquoi P₂ = A² × P₀.

(b) Calculer A². En déduire l'expression de a₂ et b₂en fonction de a₀ et b₀.

(c) En utilisant votre calculatrice, donner une expression de a₄ et b₄ en fonction de a₀ et b₀.

5. En utilisant la machine, déterminer A⁵, A¹⁰ et A⁴⁰.

6. Suivant ce modèle, indiquer quelle proportion de la population totale de l'île va vivre en ville au bout
de 40 ans ?