Bonjour,
Voici l'énoncé de mon DM: ( Désolé je ne sais pas comment mettre les coefficients entre parenthèse.)
On considère la matrice:
                                  1 2 2
                             A = 2 1 2
                                  2 2 1
On souhaite calculer A^n pour n entier naturel.

1) Calculer les premières puissances de A à l'aide d'un logiciel. Quelle forme particulière remarque t-on pour ces matrices?

2)a- Ecrire A sous la forme A=2B-I3, où I3 est la matrice identité d'ordre 3 et B une matrice à préciser.

b- Montrer que B^2=3B

c- En déduire A^2 en fonction de B et I3, puis A^3

3) Démontrer par récurrence que, pour tout n1, A^n=(-1)^n*I3+1/3*(5^n-(-1)^n)*B.

4) Ecrire A^n avec tous ses coefficients en fonction de n, pour n*
Réponses:

1) A^2= 9 8 8
        8 9 8
        8 8 9

A^3= 41 42 42
     42 41 42
     42 42 41

A^4= 209 208 208
     208 209 208
     208 208 209

...

Nous remarquons que ces matrices sont des matrices carrés d'ordre 3, celles-ci ont leur diagonales de même coefficient et tous les autres coefficients sont également égaux.

2)a-
I3= 1 0 0
    0 1 0
    0 0 1
A= 1 2 2
   2 1 2
   2 2 1

                   A= 2B-I3
                   2B= A+I3
             Donc: B= (A+I3)/2

2B= 1 2 2   1 0 0
    2 1 2 + 0 1 0
    2 2 1   0 0 1
    
2B= 2 2 2
    2 2 2
    2 2 2

B/2= 1 1 1
     1 1 1
     1 1 1

D'où:
A= 2B-I3

A= 2 2 2   1 0 0
   2 2 2 - 0 1 0
   2 2 2   0 0 1

A= 1 2 2
   2 1 2
   2 2 1

2)b- B^2= 1 1 1   1 1 1
          1 1 1 * 1 1 1
          1 1 1   1 1 1
B^2 = 3 3 3
      3 3 3
      3 3 3

Par définition le produit d'une matrice par un réel K est une matrice de même taille formée par les coefficients de cette matrice multipliés par K.
Donc:

3*B= 3 3 3
     3 3 3
     3 3 3
A partir d'ici je suis bloqué
S'il vous plait aidez moi