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DM Matrices

Posté par
TetonMielleux 13-03-16 à 07:09

Bonjour,

J'ai un DM sur les matrices à faire en spé et je ne suis pas sur de ce que l'on doit trouver et faire pour le résoudre....
Voici l'énoncé :

Par suite d'une forte augmentation du prix des carburants de 2010 à 2011, certains salariés d'une entreprise changent de mode de déplacement pour se rendre sur le lieu de leur travail.
En 2010, 80% des salariés utilisaient leur voiture personnelle.
En 2011, 30% des salariés utilisant leur voiture en 2010 ne l'utilisaient plus et 10% des personnes ne l'utilisant pas en 2010 l'utilisaient en 2011.
On suppose que ces proportions restent constantes d'une année à l'autre.
On note A l'état "un salarié utilise sa voiture personnelle" et B l'état " un salarié n'utilise pas sa voiture personnelle".

1. Écrire la matrice de transition M associée à cette marche aléatoire, les états étant pris dans l'ordre A,B.

2. On note E0 l'état initial en 2010 et En l'état en l'an 2010 + n
Ecrire la matrice ligne E0.

3. On suppose que cette évolution se poursuit.
Déterminer l'état probabiliste en 2012, en 2015 puis en 2020.
Semble t-il y avoir un état stable ?

4. Déterminer cette mesure stationnaire

5. On définit la matrice P = (1 3
                                                              -1 1 )
P est-elle inversible ? Déterminer la matrice P-1.

6. Déterminer la matrice D = PMP-1, en déduire la matrice M puis Mn en fonction de D, P et P-1.

7. Démontrer qu'alors En = (0.25+0.55*0.6n  0.75-0.55*0.6n).

8. Est-il possible d'envisager qu'à terme seulement 10% des salariés utilisent leur véhicule personnel pour aller au travail ?



Mes réponses pour l'instant :

1. M = ( 0.76  0.24
                  0.02  0.68)

2. E0 = (80  20)

3. Ici par contre j'ai calculé à chaque fois jusqu'à 2020 ( E10) Donc je sais pas s'il y a plus rapide et pratique

(2012) E2 = ( 47  53 ) (arrondi)
(2015) E5 = ( 24  76 )
(2020) E10 = ( 11  89 )
Il semble y avoir un état stable.

4. Je ne sais pas cmt faire

(je zappe les étapes de calcul sur les questions 5 et 6 car je connais la méthode)
5. P-1 = (0.25  -0.75
                                            0.25   0.25)

6. D  = ( 1  0.18
                  0   0.74 )
M= P-1DP  et Mn= P-1DnP

7.Je ne vois pas comme faire.

8. Je ne vois pas comment faire.

Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

Posté par
flightre : DM Matrices 13-03-16 à 08:11

salut

si on note S le nbr de salariés en 2010 alors    
A2010 =A1= 0,8.S  et B2010=B1= 0,2.S

A2011 = 0,7.A2010 + 0,1B2010
B2011 = 0,3.A2010 + 0,9B2010

An+1 = 0,7.An + 0,1Bn
Bn+1 = 0,3.An + 0,9Bn

[An+1 Bn+1] =[An Bn] [ 0,7  0,1 ]
                                                                                                                                                 [ 0,3  0,9]

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 13-03-16 à 09:25

C'est pour quelle question ?

Posté par
vhamre : DM Matrices 13-03-16 à 12:31

Bonjour,

en continuant sur la lancée de flight je trouve
E2=[0.448,    0.552]
E5=[0.292768,    0.707232]
E10=[0.25332563968,    0.74667436032]

et l'état stationnaire défini par
0.7A+0.1B=A
0.3A+0.9B=B avec toujours A+B=1
ce qui correspond bien à l'état stable A=0.25 et B=0.75 du7.)

Pour 6.) je trouve
P^{-1}=\begin{bmatrix}0.25 & -0.75 \\0.25 & 0.25\end{bmatrix}
D=\begin{bmatrix}1.1 & -0.5 \\0.1 & 0.5\end{bmatrix}

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 13-03-16 à 14:27

D'accord merci de vos réponses ! Mais je ne vois pas à quelle question elles correspondent ^^
Et pour les questions 4 et 10 ? Comment faut-il faire ?

Les réponses que j'ai trouvé sont-elles justes au moins ?

Posté par
vhamre : DM Matrices 13-03-16 à 19:24

re-Bonsoir,

J'ai opéré avec un état E vecteur 2 lignes et 1 colonne et le produit M*E
Mes résultats sont cohérents,
mais il est plus conforme dans cet exercice d'opérer avec E matrice 1 ligne  et 2 colonnes
et le produit E*M. alors :
E=\begin{bmatrix}0.8 & 0.2 \end{bmatrix}\ \ M=\begin{bmatrix}0.7 & 3 \\0.1 & 0.9\end{bmatrix}

P^{-1}=\begin{bmatrix}0.25 & -0.75 \\0.25 & 0.25\end{bmatrix}\ \ D=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0.6\end{bmatrix}

et facilement D^n=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0.6^n\end{bmatrix}

E2=[0.448,  0.552]
E5=[0.292768,   0.707232]
E10=[0.25332563968,   0.74667436032]

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 14-03-16 à 07:37

xD Merci encore mais est-ce que les réponses que j'ai trouvé au départ sont justes ? Genre pour la 1 ?

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 14-03-16 à 08:23

Dsl je n'avais pas vu et pas fait attention précisément à vos réponses.

Et pour la 10. Quelle méthode faut-il faire ?

PS : Dsl du double-post

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 14-03-16 à 09:29

Pareil pour la question 7. Je ne trouve pas En = ( 0.25 + 0.55* 0.6n  0.75-0.55*0.6n.

Pour Mn, j'ai trouvé ( 0.25 +0.75*6n        0.75-0.75*6n
                                                                        0.25-0.25*6n          0.75+0.25*6n)

L'erreur vient-elle de là ?

et je rectifie mon précédent message: je parle de la quetsion 8. pas de la 10. (qui n'existe pas xD)

Posté par
vhamre : DM Matrices 14-03-16 à 11:30

Bonjour,

Attention : 6n n'est pas 0.6n
Je trouve bien  En = ( 0.25 + 0.55* 0.6n     0.75-0.55*0.6n)
vérifié par XCas (logiciel de calcul formel) :
An=0.25 +0.55*exp(-0.510825623766*n)
Bn=0.75 -0.55*exp(-0.510825623766*n)
Le n dans l'exponentielle donne bien la formule !  avec exp(-0.510825623766)=0.6

le 0.55 venant de -0.2*0.25 + 0.8*0.75=-0.050+0.600

Quand n devient grand, Mn tend bien vers \begin{bmatrix}0.25 & 0.75 \\0.25 & 0.75\end{bmatrix}

Non pour la 8 car le plancher de A est de 25% et la décroissance de An est monotone de 0.8 à 0.25

Posté par
TetonMielleuxre : DM Matrices 16-03-16 à 13:49

Pouvez-vous détailler le calcul permettant de trouver En ? Parce que je ne vois pas du tout comment arriver à ce résultat....

Posté par
lakere : DM Matrices 16-03-16 à 14:35

Bonjour,

M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{1+3\times 0.6^n}{4}&\dfrac{3(1-0.6^n)}{4}\\\\\dfrac{1-0.6^n}{4}&\dfrac{3+0.6^n}{4}\end{pmatrix}

C' est le même résultat que toi plus haut à 9h29 mais écrit avec des fractions.

E_n=E_0.M^n=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{5}&\dfrac{1}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{1+3\times 0.6^n}{4}&\dfrac{3(1-0.6^n)}{4}\\\\\dfrac{1-0.6^n}{4}&\dfrac{3+0.6^n}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1+3\times 0.6^n}{5}+\dfrac{1-0.6^n}{20}&\dfrac{3(1-0.6^n)}{5}+\dfrac{3+0.6^n}{20}\end{pmatrix}

E_n=\begin{pmatrix}\dfrac{5+11\times 0.6^n}{20}&\dfrac{15-11\times 0.6^n}{20}\end{pmatrix}

E_n=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{4}+\dfrac{11}{20}\,0.6^n&\dfrac{3}{4}-\dfrac{11}{20}\,0.6^n\end{pmatrix}

E_n=\begin{pmatrix}0.25+0.55\times 0.6^n&0.75-0.55\times 0.6^n\end{pmatrix}


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