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[DM] Médianes d'un triangle, point de gravité...
Bonjour tout le monde !
Cette fois-ci on me demande de construire une figure, pas de problème, mais on me demande plein de justifications, je ne vois pas trop comment faire :s
Voici l'exercice :
On veut démontrer la propriété suivante :
"Le point de concours des médianes d'un triangle, appelé centre de gravité, est situé aux deux tiers d'un médiane en partant du sommet."
1) Construire un triangle ABC.
2) Placer le point I milieu de [AB] se coupent en G. Que représente le point G pour le triangle ABC ?
3) Les droites (CI) et (BJ) se coupent en G. Que représente le point G pour le triangle ABC ?
4) Tracer le point M symétrique de A par rapport à G.
5) Démontrer que les droites (IG) et (BM) sont parallèles et que : IG =
6) Démontrer que les droites (JG) et (MC) sont parallèles.
7) Quelle est la nature du quadrilatère BGCM ?
8) En déduire que IG =
9) Conclure
(Voir la figure jointe)
Pour le 3) :
G représente le centre de gravité du triangle ABC car J est le milieu de côté [AC] qui est opposé au point B et I est le milieu de côté [AB] qui est opposé au point C. Donc les droites (JB) et (IC) sont deux médianes, elles se coupent en G, se qui forme ce point de gravité.
Voilà, après je ne vois pas comment démontrer se qu'ils nous demande...
Je vous remercie d'avance de vos réponses !
![[DM] Médianes d\'un triangle, point de gravité...](img/forum_img/0234/forum_234896_1.jpg)
Bonjour,
5) Démontrer que les droites (IG) et (BM) sont parallèles et que : IG = BM.
Danc AMG : I milieu [AB] et G milieu [AM] car M symétrique de A par rapport à G
Propriété : Dans un triangle, la droite passant par les milieux de 2 côtés est parallèle au 3ème côté et le segment joignant les milieux de 2 côtés mesure la moitié du 3ème côté.
Je te laisse continuer.
6) Démontrer que les droites (JG) et (MC) sont parallèles.
Même démonstration que 5).
7) Quelle est la nature du quadrilatère BGCM ?
Grâce aux questions précédentes on sait que
(IG)//(BM) -> (IC)//(BM) -> (GC)//(BM)
et
(JG)//(MC) -> (JB)//(MC) -> (GB)//(MC)
donc BGCM est un parallélogramme
8) En déduire que IG = 1/2 GC.
Tu sais d'après la q. 5) que IG=1/2 BM
Tu sais que BGCM est un parallélogramme donc BM=GC
donc IG=1/2GC
9) À toi de conclure ce que l'on te demandait de prouver à travers cet exercice.
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