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DM nombre complexe

Posté par
Jujulaterreur 06-03-11 à 11:12

Salut !
J'ai un DM de maths à faire et malheureusement dedans il y a 2 exercices assez "chaud". Je vais commencer par vous en proposer un, et j'espère que vous pourrez m'aider

Voici comment il s'écrit:

/!\ z(barre) = z avec une barre dessus, càd le conjugué de z <--

1. z est un complexe quelconque et u un complexe tel que |u| = 1 et u ≠ 1. Prouvez que z - u.z(barre) / 1-u est réel
2. Énoncez la proposition réciproque. Cette proposition est-elle vraie ?

Voilà le problème

donc si u est un complexe, il s'écrit a + ib, pareil pour z d'ailleurs. Sachant que |u| = 1 c'est que (a2 + b2) = 1. Après je sais pas trop ce qu'il faut faire.

D'avance merci si vous pouvez m'éclairez sur mon problème

Posté par
Allahre : DM nombre complexe 06-03-11 à 11:49

Bonjour,

Avant de développer z et u, est-ce bien cela qu'il faut démontrer  :

\frac{z+u\overline{z}}{1-u} \in

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 06-03-11 à 12:30

oui absolument. Je sais pas comment tu as fais pour le mettre en fraction et tout mais c'est ça en tout cas

Posté par
Allahre : DM nombre complexe 06-03-11 à 13:07

De rien C'est simplement le langage Latex... En fait, c'est assez simple à comprendre.

Bon, revenons à ton problème...

Si tu poses u = x + iy et z = a + ib, tu peux développer le tout.

Rappel, si z = a + ib, alors \overline{z} = a - ib

Posté par
Allahre : DM nombre complexe 06-03-11 à 13:47

Petit indice : quand tu développeras, tu trouveras que

\frac{z-u\overline{z}}{1 - u} = a + ib \frac{(1 + u)}{1 - u}

Or (1 + u)(1 + \overline{u}) = 2 + u + \overline{u} qui est un réel car la somme d'un complexe et de son conjugué forme un réel.

Ensuite (1 - u)(1 + \overline{u}) = - u + \overline{u} qui est un complexe pur. Donc i(\overline{u} - u) est un réel. Ce qui montre que ib\frac{(1 + u)}{1 - u} est un réel.

Donc \frac{z-u\overline{z}}{1 - u} \in \mathbb{R}

Posté par
littleguyre : DM nombre complexe 06-03-11 à 14:15

Bonjour

Une autre rédaction possible pour la 1) :

\bar{\left(\frac{z-u\bar{z}}{1-u}\right)}=\frac{\bar{z-u\bar{z}}}{\bar{1-u}}=\frac{\bar{z}-\bar{u}z}{\bar{1}-\bar{u}}=\frac{u\bar{z}-u\bar{u}z}{u-u\bar{u}}

or u\bar{u}= 1 (puisque |u| = 1)

donc \bar{\left(\frac{z-u\bar{z}}{1-u}\right)}=\frac{u\bar{z}-z}{u-1}=\frac{z-u\bar{z}}{1-u}

Donc \frac{z-u\bar{z}}{1-u} est réel

Sauf faute de frappe ...

Posté par
Allahre : DM nombre complexe 06-03-11 à 14:24

Bien vu ! Effectivement, c'est largement plus simple !

Merci de m'avoir corrigé  

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 06-03-11 à 17:21

D'accord donc comme zbarre = Z c'est que c'est un entier.
Ok ça c'est bon nickel super Allah et littleguy

Donc la réciproque c'est partant de z-uz(barre)/1-u étant réel, |u| = 1 et u≠1 c'est ça ?

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 08-03-11 à 18:38

UP :/ Je vois pas non plus pour la réciproque ^^

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 08-03-11 à 18:51

Sauf erreur, la réciproque ça donne :

Si z-uz(barre)/1-u est réel, prouvez que z est un complexe quelconque et u un complexe tel que |u|=1 et u≠1.

U ≠ 1 c'est évident sinon on diviserait par 0.
|u| = 1 ok, mais comment prouvé ça ?

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 08-03-11 à 19:07

j'arrive à un truc comme :

z + uu_z = z_ + uu_z

u_ et z_ <=> u barre et z barre

Qu'est-ce que je peux en déduire sachant que je veux |u| = 1 ?

Posté par
Jujulaterreurre : DM nombre complexe 08-03-11 à 19:10

J'AI FAIS UNE FAUTE DONC C'EST CELUI LÀ LE BON MESSAGE :

j'arrive à un truc comme :

z + uu_z_ = z_ + uu_z

u_ et z_ <=> u barre et z barre

Qu'est-ce que je peux en déduire sachant que je veux |u| = 1 ?

Posté par
littleguyre : DM nombre complexe 11-03-11 à 20:20

Bonjour

On peut très bien avoir \frac{z+u\overline{z}}{1-u} réel sans avoir |u| = 1 :
pour z = 0 , on a bien \frac{z+u\overline{z}}{1-u}=0 qui est réel (et on n'a pas nécessairement u de module 1)

Mais je n'ai peut-être pas bien saisi la question (il faudrait l'énoncé "à la virgule près")...


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