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Niveau terminale
DM nombres 1er
Posté par Goldenbar
Bonjour, je bloque sur un DM de spé Maths volà l'énoncé et mes réponses pour le moment.
Soit E l'ensemble des entiers premiers de la forme 4n-1 ou n est un élément de N*
Montrer que E a au moins deux éléments
Pour n=1 on a : 4-1=3 qui est premier
Pour n=2 on a : 8-1=7 qui est premier
Donc E a au moins deux éléments
On suppose E fini. Soit P le produit de tous les éléments de E et X=4P-1
Trouver un minorant de X
Soit E fini. On a vu qu'il a au moins 2 éléments : 3 et 7
Donc P=21 et X=83 qui minore X
Montrer que X n'est pas divisible par 2 et en déduire que tout facteur premier de X est soit de la forme 4n+1 soit de la forme 4n-1 ou n est un élément de N.
X=2*(2P)-1 -> de la forme 2n-1 donc impair et pas divisible par 2
Je bloque ici
Montrer que X possède au moins un facteur premier de la forme 4n-1 ou n est un élément de N*
En considérant un facteur premier p de X de la forme 4n-1, la définition de P et la relation X=4P-1, achever la démonstration par l'absurde.
lake @ 14-04-2018 à 13:20
Bonjour,
Tout premier impair est de la forme
ou 
Bonjour,
Tout premier impair est de la forme
Mais a aucun moment on dit que X est un nombre premier. Et la on parle de facteurs premier. J'ai du mal a voir de quelle manière je pourrai utiliser cette propriété...
On sait que:
est composé, car s'il était premier, il serait plus grand que le plus grand élément de
est impair. Donc 2 n'est pas diviseur premier de
.
Ils restent les autres (diviseurs premiers). Et tout nombre premier différent de 2 est de la forme -ou
Ok j'ai compris, pour la question suivante j'ai trouvé ceci.
Soit E un ensemble fini contenant 5 éléments : 3;7;11;15;19
Alors P=65 835
et donc X=263 339
or X= 71 * 3709 qui est de la forme 4n-1 avec n=18
Cependant je n'arrive pas a achever la démonstration...
Les congruences modulo 4:
donc
Supposons que tous les facteurs premiers de soient de la forme
Alors d'où contradiction.
On en déduit qu'un au moins des facteurs premiers de est de la forme
Essaie de réfléchir seul à la dernière question...
Bon.
L'ensemble est constitué d'un nombre fini de nombres premiers de la forme
,
.
On sait maintenant que est multiple d'un de ces nombres premiers (de la forme
). Appelons le
.
Donc divise
.
Mais divise aussi
Donc divise leur différence:
Un nombre premier qui divise ; vois-tu le problème ?
Oui j'ai saisi merci. Cela étant impossible cela veut donc dire qu'il dois exister une infinité de nombres premier. Merci du temps que vous avez consacré à m'aider !