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Niveau Maths sup
DM Nombres complexes
Posté par solaris
Bonjour, je suis un peu embêté pour une question d'un exo de mon DM, est-ce que quelqu'un aurait une idée.
Merci d'avance.
Soit
]-
/ 2 ; / 2 [ . On considère l'équation d'inconnue complexe z:
(E): [(1+iz)^3].(1-itan) = [(1-iz)^3].(1+tan)
1.Soit z une solution de (E)
a) montrer que |1+iz|=|1-iz|
C'est bon je l'ai fait.
b) En déduire que z est réel
C'est fait aussi
2.a) exprimer (1+itan)(1-itan) en fontion de e^(i)
Je trouve qu ec'est égal à e^(i2)
b) Soit z un nombre réel. Montrer qu'il existe un unique réel 
]- / 2 ; / 2 [ tel que z=tan
je pense que c'est =/4 mais je ne vois pas comment le montrer.
c) écrire l'équation portant sur traduisant (E) et la résoudre.
à la fin je trouve 3=, est-ce juste?
d) déterminer l'ensemble des solutions de (E).
si on veut traduire la question d'une autre manière, on aurait dit: Montrer que la fonction tan est bijective de ]-pi/2,pi/2[ vers IR, c'est à dire qu'elle prends toutes les valeurs de IR sur cet intervalle 
à toi
donc je dis que
tan est continue dérivable et strictement monotone/croissante sur l'intervalle considéré, et donc que tan est bijective, donc pour tout z appartenant à l'intervalle considéré il n'existe qu'un unique phi tel que z=tan(phi).
est-ce cela ?
et pour la question qui suit c'est quoi l'expression: (1+itan(phi))^3 .(1-itan(phi)) = (1-itan(phi))^3 .(1+itan(phi))
et à la fin on trouve 3.phi= alpha
????
c'est bien mais c'est pas le seul cas
à la fin tu dois trouver que: 3phi=alpha = k pi tel que K € Z
je te laisse terminer
Bonjour,
eh bien moi j'ai le même DM sauf que je suis en Terminale S,
Pourriez-vous me donner quelques explications ou indices pour cette question :
-a) montrer que |1+iz|=|1-iz|
NB : moi je penssais que phi = 0 car z réel équivaut à arg z = 0 [pi]
Donc nécessairement phi = 0 (Cf représentation de la tangente sur le cercle trigonométrique)
Merci
mais on n'a pas |1+iz| ni |1-iz|. Faut-il calculer le module de [(1+iz)^3].(1-itan ) et de [(1-iz)^3].(1+tan)?
A vrai dire je ne sais pas trop par quoi commencer...
Est-ce bon si j'écris cela :
[(1+iz)^3].(1-itan )=[(1-iz)^3].(1+tan )
[(1+iz)^2]/[(1-iz)^2] = [(1+itan )(1-iz)] / [(1-itan )(1+iz)]
[(1+iz)^2]/[(1-iz)^2] = -1
(1+iz)^2 = - (1-iz)^2
|1+iz|=|1-iz|
Merci
(1+iz)^3/(1-iz)^3 = (1+tan )/(1-itan )
|(1+iz)^3/(1-iz)^3| = |(1+tan )/(1-itan )|
|(1+iz)^3| / |(1-iz)^3| = |(1+tan )| / |(1-itan )|
|(1+iz)|^3 / |(1-iz)|^3 = |(1+tan )| / |(1-itan )| (E)
Or |(1+tan )| = 
(1² + (tan)²)
et |(1-tan )| = (1² + (-tan)²) = |(1+tan )|
Alors (E) |(1+iz)|^3 / |(1-iz)|^3 = 1
|1+iz|=|1-iz|
est-ce bon?