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dm pour lundi sur fonction( ln)
la fonction f associe au réel x, quand c'est possible, le réel
ln (x+racine(x au carré +1)
on pose u(x)=x + racine(xcarré+1)
1. demontrer que quelquesoit x appartient a R, u(x)u(-x)=1
2. en déduire que f est définie sur R et que f est impaire
3. determiner les limites de f en -infini et +infini
4. calculer la derivée de f et dresser son tableau de variation
5. pourquoi f est elle une bijonction de R sur R?
6. soit a un réel. calculer en fonction de a son antécédent par f
si je trouve la solution, je la ferai parvenir mais g deja bien cherché
en vain. merci a celui qui y arrivera
1) u(x)= x+rc(x²+1) ; rc() racine carré.
u(-x)=-x+rc(x²+1)
u(x)u(-x)= (rc(x²+1))²- x²= (x²+1)-x²=1; car a²-b²=(a-b)(a+b)
2) u(x)u(-x)=1 donc u(x) et u(-x) sont du même signe.
si x est positif u(x) est positif et u(-x) est aussi positif alors que
-x est négatif.
donc u(x) est toujours positif pour tout x E R.
don f bien définie sur R.
de plus u(-x)=1/u(x) ; u(x) différent de zéro.
f(-x)=ln(u(-x))=ln(1/u(x))=-ln(u(x))=-f(x)
donc f est impaire.
3) en écrivant u(x) = x(1+rc(1+(1/x)))
; x différent de 0 au voisinage de +oo.
on a :
f(x)= ln(x)+ln(1+rc(1+(1/x)))
comme lim(1+rc(1+(1/x)))=2 et limln(x)=+oo en +oo
donc limf(x)=+oo en +oo
comme f est impaire limf(x)=-oo en -oo.
4) f'(x)=(ln(u(x)))'=u'(x)/u(x)
u'(x)= 1+2x/2rc(x²+1)=(x+rc(x²+1))/rc(x²+1)
= u(x)/rc(x²+1)
donc f'(x)=1/rc(x²+1)
f'(x)>0 qq soit x élément de R.
5) f est continue et strictement croissante de -oo à +oo. C'est
donc une bijection de R vers R. Elle est impaire et de plus f(0)=0
6) soit a E R tel que a=f(x) donc
a=ln(u(x)) donc u(x)=exp(a)
donc x+rc(x²+1)=exp(a)
donc rc(x²+1)=-x+exp(a)
en élévant au carré on a:
x²+1=x²-2xexp(a)+exp(2a)
donc 1-exp(2a)=-2xexp(a)
donc x= (exp(2a)-1)/2exp(a)
= exp(a)(exp(a)-exp(-a))/2exp(a)
= (exp(a)-exp(-a))/2
= sh(a)
x=sh(a).
voila.
Je vous prie d'accépter mes remerciements et me meilleurs voeux
pour 2004.
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