Bonjour à tous les correcteurs, je suis très embétée pou résoudre ce DM et votre aide me serait vitale! Je n'arrive absolument pas à résoudre cet exercice à rendre pour lundi alors merci vraiment beaucoup à l'avance pour votre aide!
Voici l'exercice :
On définit le sinus et le cosinus hyperbolique par sinh(x) = (e^x-e^(-x))/2 et cosh(x) =(e^x+e^(-x))/2
1 a) Montrer que sinh est impaire et que cosh est paire.
b) Montrer que cosh²(x)- sinh² (x)=1
c) Vérifier que cosh (a+b) = cosh(a).cosh(b) - sinh(a).sinh(b).
d) Trouver une formule analogue pour sinh(a+b).
2 a) Montrer que sinh est continue et dérivable sur R et donner sa dérivée en fonction de cosh.
b) Donner le tableau de variation de sinh et en déduire qu'elle réalise une bijection de R sur R.
C° Soit a un réel quelconque, montrer que l'équation X²-2aX-1 = 0 d'inconnue X admet une seule solution strictement positive.
d) En déduire que pour tout réel x, réciproque de sinh(x) = ln(x+racine(1+x^2)) .
e) Montrer que réciproque de sinh est continue et dérivable sur R et donner sa dérivée.
f) Représenter sinh et sa réciproque dans un même repère orthonormé.
3 a) Etudier rapidement cosh et la représenter dans le même repère que sinh.
b) Donner Im (cosh).
c) Cosh est-elle injective?
d) Montrer dans le cas général que toute fonction paire définie sur un intervalle I non réduit à {0} n'est pas injective.
e) Donner un exemple d'application impaire qui ne soit pas injective et un exemple d'application impaire injective.
4) On appelle f la restriction de cosh à R+.
a) Montrer que f réalise une bijection de R+ sur un intervalle I que l'on déterminera.
b) Expliquer pourquoi sa réciproque n'est pas dérivable en 1.
c) Expliciter réciproque de f puis calculer sa dérivée.
d) Soit deux réels a et b tels que 1 < a < b. Montrer que réciproque de f([a;b])=[réciproque de f(a);réciproque de f(b)]
e) Expliciter réciproque de cosh ([a;b)] à l'aide de réciproque def(a) et de réciproque de f(b).
Bonjour,
c'est trivial jusqu'à 2d.
A 2d, pose exp(y)=X et tu vas trouver un truc intéressant, et sers toit de 2c.
2e c'est du cours, et si ca n'était pas le cas, ce n'est pas compliqué quand même, sers toi du fait que fof^(-1)=id=(f^(-1))of
3a) même idée
3b-3c pas de problème.
3d)e) triviales.
4a^) triviale
b) très simple (que vaut cosh'(0)=?)
c) poser exp(y)=X
d) triviale
e) se servir des questions précédentes.
A+
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