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DM pour vendredi sur (f°f)(x)
Bonjour
Je suis en 1ereS et mon prof vient de me donner un devoir maison a rendre
pour Vendredi
Il y a parmi ce devoir des questions ou je n'arrive pas a trouver
la solution
Soit la fct f definie sur [0;+inf[ par :
f(x)=1+(1/(1+x))
1)exprimer en fct de x, (f°f)(x), (f°f°f)(x), et (f°f°f°f)(x)
--> je pense que cela donne 1+(1/(2+(1/(1+x)))), 1+(1/(2+(1/(2+(1/(1+x))))))
et 1+(1/(2+(1/(2+(1/(2+(1/(1+x))))))))
mais je ne sais pas simplifier
2) resoudre dans [0;+inf[ l'equation f(x)=x
3) simplifier le quotient
1
1 + ----------------------
1
2 + --------------------
1
2 + ------------------
1
2 + ----------------
1+racine de 2
--> la on retrouve la meme formule que pour la 1) (f°f°f°f)(x) mais ne
sachant pas simplifier le 1), je n'arrive pas a le faire
Pourriez vous m'aider ?
Merci beaucoup
Pour simplifier une telle expression, le plus simple est de faire
apparaître plusieurs quotients.
Par exemple :
1+1/(1+1/2)
On simplifie le 1+1/2=3/2
puis 1/(1+1/2))=1/(3/2))=2/3
On obtient alors
1+2/3=5/3
Avec des x :
f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)
Alors : (fof)(x)=1+1/(1+f(x))
Or 1+f(x)=1+(2+x)/(1+x)=(3+2x)/(1+x)
Donc (fof)(x)=1+(1+x)/(3+2x)=(4+3x)/(3+2x)
Il suffit de recommencer en écrivant :
(fofof)(x)=f(fof(x))=f((4+3x)/(3+2x))
Après calculs :
(fofof)(x)=(7x+10)/(5x+7)
(fofofof)(x)=(17x+24)/(12x+17)
2) Pour résoudre f(x)=x, c'est pas compliqué après résolution et
étude de l'ensemble des valeurs "autorisées" on trouve :
S={-racine(2);racine(2)}
Sachant que A/B=0 si et seulement si A=0 et B<>0 (voir seconde)
3)On trouve : racine(2)
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