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DM première S

Posté par
tag-ghor 28-09-11 à 16:07

Bonjour à tous j'aurais besoin d'aide car je n'arrive pas à faire ce DM :

On considère un récipient cylindrique de rayon intérieur 10 cm et de hauteur intérieur 22cm.
On place une boule de rayon 5 cm au fond du récipient puis on verse de l'eau jusqu'a recouvrir exactement la boule ( cette boule étant de densité plus grande que l'eau, elle ne flotte pas).
on enlève cette boule et on la remplace par une seconde boule de même densité et de rayon différent ; l'eau recouvre à nouveau exactement la seconde boule.
On se demande quel est le rayon r de cet boule.

1. quel est le rayon maximal r que l'on peut choisir ?

2. a. Quel est le volume d'eau contenu dans le récipient lors de la première expérience ?
b. Exprimer le volume d'eau v(r) contenu dans le récipient lors de la seconde expérience.

3.a Écrire une équation dont r est solution.
b.Montrer qu'elle est équivalente à une équation de la forme (r-5)(ar²+br+c)=0 où a,b et c sont à déterminer.
c. Conclure.

DM première S

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 29-09-11 à 00:35

Bonsoir tag-ghor

1) Il me semble évident que le rayon r maximal soit égal à 10 cm qui est le rayon du cylindre.

2) a) Quand la boule est placée dans le cylindre, il y a de l'eau jusqu'à une hauteur de 10 cm.

Le volume de cette « eau+boule » se calculera par la formule du volume d'un cylindre dont le rayon de la base est 10 cm et la hauteur est 10 cm.
Ce volume est égale à   \large \pi\times 10^2\times 10 = 1000\pi.

Le volume de la boule de rayon 5 cm est égal à   \large \frac{4}{3}\pi \times 5^3 = \frac{500}{3}\pi.

Le volume de l'eau est alors la différence entre les deux volumes calculés.

Ce volume de l'eau est égal à    \large 1000\pi - \frac{500}{3}\pi = \frac{2500}{3}\pi.

2) b) Le volume de l'eau vaudra toujours  \large \frac{2500}{3}\pi.

Le volume de la boule de rayon r  est égal à \large \frac{4}{3}\pi r^3 .

Donc le volume de l'  « eau+boule » sera égal à \large \frac{2500}{3}\pi  + \frac{4}{3}\pi r^3 .

etc...

Posté par
mathiere : DM première S 01-10-11 à 13:44

Bonjour j'ai le même exo mais moi je suis bloqué à la question : 3b. je ne vois pas comment faire ?
merci

Posté par
pedroExplication 04-09-14 à 14:13

Pourquoi le volume de l'au vaudra toujours [2500]pi[/3 ???  Ce n'est pas cohérent ...

Posté par
pedrorectification 04-09-14 à 14:13

*l'eau

Posté par
jeveuxbientaiderre : DM première S 04-09-14 à 14:27

A cause de cette phrase """""on enlève cette boule et on la remplace par une seconde boule de même densité""""

On enlève juste la boule, on ne rajoute ni n'enlève de l'eau

Le niveau monte dans le cylindre (parce que la 2ème boule est plus grosse) mais il y en a toujours le même volume d'eau autour de la boule.

Dans le 2ème cas il y a : le même volume d'eau + le volume de la grosse boule

Posté par
pedroautre precision 04-09-14 à 14:36

ookkk merci bien ... ET pour la question 3a, vous faites comment ...?

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 04-09-14 à 22:25

Bonsoir pedro,

Dans mon premier message, il est écrit ceci :

Donc le volume de l'  « eau+boule » sera égal à \dfrac{2500}{3}\pi  + \dfrac{4}{3}\pi r^3 .

D'autre part, puisque 2r est la hauteur du volume "eau+boule", ce volume peut également se calculer par \pi\times 10^2\times(2r),
soit volume "eau+boule" = 200\pi r

Nous avons donc l'équation : \dfrac{2500}{3}\pi  + \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 200\pi r

Posté par
pedrod.m 13-09-14 à 15:08

Pourrais je avoir de l'aide pouur la question 3.b ??

Posté par
jeveuxbientaiderre : DM première S 13-09-14 à 15:19

Développement , identification pour trouver a b et c ...

Pour comprendre l'identification tu dois comprendre que

2 polynômes sont égaux si leur coefficient de terme de même degré sont égaux

ax3 + bx2 + cx + d = rx3 + sx2 + tx + u si et seulement

a = r
et
b = s
et
c = t
et
d = u

Bons calculs

Posté par
pedrodm 13-09-14 à 15:37

Pourriez vous me donner des explication plus concretes s'il vous plaît ??

Posté par
jeveuxbientaiderre : DM première S 13-09-14 à 15:40

Exemple :

rx3 + sx2 + tx + u  = 2x3 + 5x2  - 2x + 7

si et seulement si

r = 2
s = 5
t = -2
u = 7

Posté par
jeveuxbientaiderre : DM première S 13-09-14 à 15:43

Regarde ce que j'ai fait ici : ---- >

C'est pour une fonction homographique mais la technique reste la même avec une fonction polynôme !

Posté par
pedroDM 13-09-14 à 16:03

JE ne vois pas le rapport avec l'exercice  ... =/

Posté par
pedroDm 13-09-14 à 16:05

Je ne comprends pas la manière pour touver a,b et c... Et le rapport r,s,t et u m'embrouille... =/

Posté par
jeveuxbientaiderre : DM première S 13-09-14 à 16:16

question 3b.Montrer qu'elle est équivalente à une équation de la forme (r-5)(ar²+br+c)=0 où a,b et c sont à déterminer.

.... certes ce n'est pas a , b et c  ni r , s et u mais tu ne peux pas faire la tri dans les informations données ...

Posté par
pedroDM 13-09-14 à 16:20

Moi j'ai  trouver a= 4/15pi

b=0
c=500/3


Ce sont sa les réponses ??

Posté par
pedroDM 13-09-14 à 17:13

pourriez vous bien m'exp;liquer la maniere de trouve a,b et c s'il vous plaît... =)

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 13-09-14 à 22:54

Les valeurs de a,b et c que tu as données sont incorrectes.
Pour te permettre de les trouver plus facilement, il faudrait d'abord améliorer l'équation que je t'ai donnée.

\dfrac{2500}{3}\pi  + \dfrac{4}{3}\pi r^3 = 200\pi r

Multiplions les deux membres par 3.

2500\pi + 4\pi r^3=600\pi r

Divisons les deux membres par 4\pi

625+r^3=150r

L'équation devient alors :  r^3-150r+625=0

Pour la question 3 b), nous pouvons écrire :  r^3-150r+625=(r-5)(ar^2+br+c)

Tu développes d'abord  (r-5)(ar²+br+c) et tu réduis.

Nous verrons ensuite ce qu'il faut faire (si tu obtiens le bon résultat ! )

Posté par
pedroDM 14-09-14 à 12:41

J'obtiens : ar²*r+r²(b-5a) r(c-5b) - 5c


Et ensuite je ne comprnds pas comment trouver a b et c avec tous sa ??

Posté par
pedroDM 14-09-14 à 17:36

Pourriez vous m'aider le plus vite possible parce que je dois rendre rendre mon Dm demain ... Merci D'avane ... =)

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 14-09-14 à 19:26

Citation :
J'obtiens : ar²*r+r²(b-5a) r(c-5b) - 5c
ar²*r = ar3.
Donc nous obtenons ainsi :

r^3-150r+625=(r-5)(ar^2+br+c)
r^3-150r+625=ar^3+(b-5a)r^2+(c-5b)r-5c

Identifions (c'est-à-dire égalisons) les coefficients des mêmes puissances de r (les coefficients de r3, ceux de r², ceux de r et les termes indépendants).

Nous obtenons :

\left\{\begin{matrix}a=1\\b-5a=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\b-5\times1=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\b-5=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\\boxed{b=5}\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

Tu peux continuer pour trouver la valeur de c...

Posté par
Mazasorre : DM première S 22-09-15 à 17:25

Après quelques heures de réflexion et la discussion autour de ce problème, j'ai réussi a comprendre la réponse a la question 3a ^^
Mais mtn je le trouve bloquée a la 3b car je n'arrive pas a prouver que : r^2-150r+625 est une forme équivalente à :  ar^3+r(b-5a)+r(c-5b)-5c

Merci d'avance

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 22-09-15 à 21:33

Bonjour Mazasor

Mazasor @ 22-09-2015 à 17:25

... je n'arrive pas a prouver que : r^2-150r+625 est une forme équivalente à :  ar^3+r(b-5a)+r(c-5b)-5c
Ce n'est pas r^2-150r+625 mais r^3-150r+625.

J'ai pourtant fait le développement dans mon message précédent...

Posté par
Mazasorre : DM première S 22-09-15 à 21:47

Oui pardon je me suis tromper ce n'est pas :  r^2-150r+625 mais bien :  r^3-150r+625 !
Mais je n'arrive toujours pas a trouver le lien avec ar^3+r(b-5a)+r(c-5b)-5c

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 22-09-15 à 23:33

Ou bien je ne comprends pas ce que tu désires, ou bien tu n'as pas lu ce que j'ai écrit :

r^3-150r+625=(r-5)(ar^2+br+c)
r^3-150r+625=ar^3+(b-5a)r^2+(c-5b)r-5c

Identifions (c'est-à-dire égalisons) les coefficients des mêmes puissances de r (les coefficients de r3, ceux de r², ceux de r et les termes indépendants).

Nous obtenons :

\left\{\begin{matrix}a=1\\b-5a=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\b-5\times1=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\b-5=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}\boxed{a=1}\\\boxed{b=5}\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

Tu peux continuer pour trouver la valeur de c...

Posté par
Mazasorre : DM première S 22-09-15 à 23:46

Je ne comprend pas pourquoi on ne reprend pas l'expression complète soit :

ar^3=r^3. Donc a=1 la je suis d'accord.

Mais pour la 2ème étapes je bloque, pourquoi on ne prend pas :
r^2(b-5)=0 ???
Ce qui nous donnerai
r^2-5br^2 = 0

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 23-09-15 à 10:16

Oui... Je vois que tu as un petit problème...

Que signifie : "Deux polynômes en x sont égaux" ?
Réponse : ils sont du même degré et les coefficients des mêmes puissances de x sont égaux.

Ainsi par exemple :

ax²+bx+c = 3x²+2x-1 ==> a=3 et b=2 et c=-1

Autre exemple :

ax²+bx+c = 2x²+4 ==> a=2 et b=0 et c = 4 (en effet : 2x²+4 = 2x²+0x+4)

Autre exemple :

ax^3+bx^2+cx+d=4x^3+2x^2-3x+2\Longrightarrow a=4\ et\ b=2\ et\ c=-3\ et\ d=2

Dernier exemple :

ax^3+bx^2+cx+d=5x^3+x-2\Longrightarrow a=5\ et\ b=0\ et\ c=1\ et\ d=-2\\\\car\ 5x^3+x-2=5x^3+0x^2+1x-2


Tu appliques le même principe dans l'exercice sauf que x est remplacé par r.

ar^3+(b-5a)r^2+(c-5b)r-5c=r^3-150r+625

C'est-à-dire

ar^3+(b-5a)r^2+(c-5b)r-5c=r^3\color{red}+0\color{black}r^2-150r+625

Donc

\left\{\begin{matrix}a=1\\b-5a=0\\c-5b=-150\\-5c=625\end{matrix}\right.

Posté par
MazasorSauvée 23-09-15 à 20:00

Daccoorrrrdddd !!! Ahhh mercii beaucoup Hiphigenie tu m'a sauvée la vie xD merci merci et merci ^^ j'ai tout compris !!! )

Posté par
Hiphigeniere : DM première S 23-09-15 à 21:36

Heureux de t'avoir sauvé la vie !
Bonne fin de soirée !


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