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[DM Primitives]

Posté par
Karhian
01-11-10 à 14:33

Bonjour à tous

Voilà, ca va faire pas mal de temps que j'essaye de faire ce DM mais sans succès :S
Alors je viens vous demander de l'aide pour que je puisse ENFIN le terminer et être tranquille ^^

Voici l'énoncé :
" Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies sur ]0;+[ vérifiant :
pour tout réels x et t de ]0;+[, f(xt)=f(x)+f(t)
et f est dérivable sur ]0;+[
Nous allons également déterminer certaines propriétés d'un primitive de la fonction inverse, primitive que l'on ne connait pas encore.

A) Supposons qu'il existe une telle fonction f. Soit t un réel strictement positif fixé et considérons les fonctions g et h définies sur ]0;+[ respectivement par g(x)=f(xt) et h(x)=f(x)+f(t)
1. Montrer que g et h sont dérivables sur ]0;+[, et que pour tout réel x de ]0;+[ on a : tf'(tx)=f'(x)
2. En déduire que, pour tout réel t de ]0;+[, f'(t)=f'(1)/t
3. Montrer que f est la primitive de tk/t sur ]0;+[ qui s'annule en 1, avec k=f'(1)

B) Réciproquement, soit k un réel fixé, supposons que f soit une fonction telle que f(1)=0 et que, pour tout x de ]0;+[, f'(x)=k/x
1. Montrer que les fonctions xf(xt) et xf(x) ont même fonction dérivée sur ]0;+[
2. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout x de ]0;+[, f(xt)=f(x)+C
Montrer que C=f(t)
3. Conclure

C) Soit f la primitive sur ]0;+[ de x1/x qui s'annule en 1.
Etudier son sens de variation puis son signe"


Je vous remercie d'avance, en espérant que vous pourrez m'aider

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 15:10

130 personnes de connecter, et pas une seule qui peut m'aider ?! ôO

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 15:35

S'il vous plait, un professeur parmi les connectés ?

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 15:55

Je commence vraiment à désespérer >.<"

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:43

Personne n'aime les primitives c'est ca ?! U_U

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:47

Bonjour,
As-tu su faire la question A 1. ?

Posté par
LeHibou
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:48

Bonjour,

Personne n'aime faire le problèmes à la place des élèves/étudiants
Commence par exposer ce que tu as déjà fait, où tu butes, et on t'aidera.

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:50

Bonjour

Personne n'aime un devoir énoncé sans aucune proposition de la part du demandeur...

A)1) g et h sont dérivables comme compsées de fonctions dérivables. g'(x)=tf'(tx) et h'(x)=f'(x). Comme par hypothèse g=h, on a bien tf'(tx)=f'(x)
2) Prends x=1
3) Comme f'(t)=f'(1)/t, f est une primitive de f'(1)/t et on sait que f(1)=f(1)+f(1) donc f(1)=0.

Tu essayes le B?

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:51

Je le sais.
Mais je bute dès le début, soyons logique, sinon, je vous aurait déjà dit où je bloquais.

Et je ne demande pas à ce que l'on me fasse l'exercice, mais à ce que l'on m'aide à trouver là réponse!

En tout cas, merci! Enfin quelqu'un qui s'intéresse à mon problème x)
Wouaw, même deux personnes ! *_*

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:51

Salut LeHibou et COTLOD

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:53

Comme je viens de le dire, Camélia, je ne peux pas faire de proposition vu que je ne sais même pas par où commencé.
Je demande juste de l'aide et non pas que l'on me le fasse, sinon, comment voulez-vous que je comprenne!

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:53

Bonjour Camélia
je te laisse aider Karhian.

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 16:58

Non, COTLOD et LeHibou j'étais sur le point de partir...

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:08

Je ne vois pas ce que Camélia veut dire, enfin, comment, d'après l'hypothèse que g=h, que tf'(tx)=f'(x) ?
Et pour la question 2), je vois ce qu'elle veut dire, mais je ne sais pas comment bien l'expliquer ?

Vous pouvez m'aider s'il vous plait ? (COTLOD ou LeHibou ?)

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:25

A 1. on a g(x)=f(xt)=f(x)+f(t) ; dérive f(xt) comme fonction composée (formule) ; dérive aussi f(x)+f(t) sachant que f(t) est constant.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:40

D'accord, donc on obtient que (f(xt))'= tf'(x)= f'(x)+0 car f(t) constant. c'est ca ?
A.2) Comment rédigez ce qu'elle a dit ?

Merci COTLOD de bie nvouloir m'aider

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:45

A la question A 1. on a prouvé que pour tout x de ]0;+[ on a tf'(xt)=f'(x) donc c'est vrai en particulier pour x=1.

Exprime cette égalité en remplaçant x par 1.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:55

D'accord, merci

Pour revenir à la question précédente, dérivée une composée, c'est avec v rond u c'est ca ?
Je n'y arrive pas pour trouver tf'(xt), vous pouvez m'aider s'il vous plait ?

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 17:58

Citation :
dérivée une composée, c'est avec v rond u c'est ca ?

oui, pour ici disons (fou)^{'}=u^{'}\times f^{'}ou avec u(x)=xt

Trouve u^{'}(x)=...

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:04

Je trouves u'(x) = (xt)'
.... J'suis perdu ...

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:08

Ce n'est pas difficile, t est constant, c'est comme si c'était le nombre 3, tu sais dériver u(x)=3x ?

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:12

Ah ouiiii !!! ôO

J'suis entrain de tout mélanger avec les primitives moi.. J'me casse la tête à chercher comment faire disparaître le x en essayant de faire le contraire de ce que je dois faire x)

D'accord, donc u'(x) = t

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:14

voilà, et tu remplace dans u^{'}(x)\times f^{'}(u(x))

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:17

Cela donne : t*f'(xt) qui est égale à f'(x) car f'(t) = 0

fiouuu.. Et dire que ce sont que les premières questions :O

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:20

Citation :
f'(t) = 0

attention, tu as voulu dire (f(t))^{'}=0 ce n'est pas la même chose.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:25

Beh faut dire (f(x))' non ? Ou alors ca revient au même ?

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:35

c'est un peu subtil mais important, rigoureusement on devrait utiliser l'apostrophe que sur des fonctions (comme f ou g). Mais pour abréger on l'utilise parfois sur des expressions, par exemple (x^2+3x)^{'}=2x+3. Ainsi dans les formules sur les dérivées on peut trouver (k)^{'}=0 pour éviter d'écrire : "si pour tout x on a f(x)=k alors pour tout x on a f'(x)=0.

Ici f'(t) est la valeur de la dérivée de la fonction f en t (ce n'est pas toujours 0), et (f(t))^{'} renvoie à la formule sur la dérivée d'une fonction constante dont je parlais ) l'instant.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 18:57

D'accord, je viens de comprendre, merci


Je ne comprends pas ce qu'il faut que je fasse pour B.1) ?
Faut que je cherche les primitives des deux fonctions ?

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 01-11-10 à 19:55

pour x\to f(xt) utilise la formule pour dériver une fonction composée.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 11:38

Bonjour,

D'accord pour xf(xt) mais pour ce que qui est de xf(x), je ne vois pas trop l'égalité des deux dérivées..

Pouvez-vous encore m'aidez s'il vous plait ?

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:02

Bonjour,
la notation x\to f(x) ne désigne rien d'autre que la fonction f, sa dérivée est donnée dans l'énoncé de la question B.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:09

D'accord,

Alors j'me suis trompé dans la dérivée de xf(xt) ôO
J'obtiens tf'(xt), c'est correct ? Comme dans la question A.1)

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:12

C'est correct.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:23

@vinct34best
Tu pourrais tout de même créer ton propre post au lieu de venir sur celui des autres.
Certes, tu vas attendre un peu avant que l'on te réponde, mais tu en auras une, alors s'il te plait, stop ton pollupostage, merci

@COTLOD
D'accord, ca va alors
Mais comment montrer que tf'(xt)= f'(x)= k/x ?

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:37

C'est dans l'énoncé de la question B. C'est une hypothèse.

Posté par
Karhian
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 12:46

@COTLOD
J'vais peut-être paraître idiot, mais je ne comprends pas..

@vinct34best
Tu avais une semaine et demi pour le faire, c'est ton problème, pas le mien.
J'essayerai de t'aider lors que j'aurai terminer mon DM

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 02-11-10 à 13:09

L'exercice a pour but d'établir l'équivalence entre :
(1) f(xt)=f(x)+f(t) pour tous x,t\in]0;+\infty[
(2) f^{'}(x)=k/x et f(1)=0

Dans la partie A on montre (1)\Rightarrow (2)
Dans la partie B on montre (1)\Leftarrow (2)

Dans B on suppose f^{'}(x)=k/x c'est une hypothèse
et on a établi g^{'}(x)=tf^{'}(xt) (en posant g(x)=f(xt))

donc en utilisant l'hypothèse g^{'}(x)=t\times \frac{k}{x\times t}=\frac{k}{x}

Posté par
Roget
re : [DM Primitives] 05-11-10 à 23:08

Merci beaucoup COTLOD, en tout cas

Posté par
etoueeeee
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 11:48

Bonjour aujourd'hui j'ai le même dm que ci dessus cependant malgré vos explication je suis bloqué à la question A)3) ainsi qu'à la question B)2) si quelqu'un pourrait m'expliquer ca serait avec un immense plaisir

Posté par
COTLOD
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:02

La question A 3) n'est que la conclusion de ce qui précède. Que signifie selon toi :
"f est une primitive de la fonction g"

Posté par
etoueeeee
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:39

Merci , j'ai réussi à trouvé la réponse que je ne comprenais pas qui était posé au dessus cependant je ne comprend toujours pas la B)2). Il faut dire que c'est k/x car f(x) et f(t) ont les mêmes dérivés ? Et pour étudier le signe d'une primitive pour C quelle est sa fonction de base ? C'est bien le premier dm où je ne comprend rien... Merci pour votre aide !

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:45

Bonjour

Si on suppose que f'(x)=k/x et si on pose g(x)=f(xt) on s'aperçoit que f'(x)=g'(x). Or la différence de deux fonctions qui ont la même dérivée sur un intervalle est constante.

Posté par
etoueeeee
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:51

Donc en faisant la différence je trouve l'inconnu C ? Merci
Et pour la question C on sait que 1/x est positif dans ]0;+00[ donc elle est strictement croissante dans cette intervalle on en déduit un tableau de variation et on montre que 1/x est négative sur ]0;1] et positive sur [1;+00[ ?

Merci !

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:56

Pas 1/x. La primitive que tu étudies!

Posté par
etoueeeee
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 16:59

Désolé je ne comprend pas :-\

Posté par
Camélia Correcteur
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 17:01

Relis ce que tu as écrit. 1/x ne peut pas être à la fois positive et négative sur ]0,1]

Ta dernière phrase parle de la primitive de 1/x que tu étudies.

Posté par
etoueeeee
re : [DM Primitives] 20-11-13 à 17:05

Merci beaucoup je n'avais pas vu et je recherchais une erreur dans mon raisonnement :/ Merci !

Posté par
mara08
re : [DM Primitives] 02-12-17 à 20:34

Bonjour,

j'ai moi aussi cet exercice à résoudre et je n'y arrive pas. j'ai quelques pistes mais uniquement pour les deux premières questions.
est-ce que quelqu'un pourrait m'aider.
merci d'avance

1) on peut dire que g et h sont dérivables, sachant qu'elles sont toutes deux des fonctions usuelles dérivables sur leur ensemble de définition, et sachant que t appartient à ]0;+l'infini[.

2) si t=0 et x=1  

tf' (t)= f'(1)
f'(t)= f'(1)/t

Posté par
mara08
re : [DM Primitives] 02-12-17 à 22:12

j'ai avancé j'en suis au 2) du B

je ne vois pas comment faire pour trouver le réel C;
pouvez-vous m'aider ?
merci

Posté par
mara08
re : [DM Primitives] 03-12-17 à 12:45

Il y a t-il quelqu'un ?



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