" Le but de l'exercice est de déterminer toutes les fonctions f définies sur ]0;+[ vérifiant :
pour tout réels x et t de ]0;+[, f(xt)=f(x)+f(t)
et f est dérivable sur ]0;+[
Nous allons également déterminer certaines propriétés d'un primitive de la fonction inverse, primitive que l'on ne connait pas encore.

A) Supposons qu'il existe une telle fonction f. Soit t un réel strictement positif fixé et considérons les fonctions g et h définies sur ]0;+[ respectivement par g(x)=f(xt) et h(x)=f(x)+f(t)
1. Montrer que g et h sont dérivables sur ]0;+[, et que pour tout réel x de ]0;+[ on a : tf'(tx)=f'(x)
2. En déduire que, pour tout réel t de ]0;+[, f'(t)=f'(1)/t
3. Montrer que f est la primitive de tk/t sur ]0;+[ qui s'annule en 1, avec k=f'(1)

B) Réciproquement, soit k un réel fixé, supposons que f soit une fonction telle que f(1)=0 et que, pour tout x de ]0;+[, f'(x)=k/x
1. Montrer que les fonctions xf(xt) et xf(x) ont même fonction dérivée sur ]0;+[
2. En déduire qu'il existe un réel C tel que, pour tout x de ]0;+[, f(xt)=f(x)+C
Montrer que C=f(t)
3. Conclure

C) Soit f la primitive sur ]0;+[ de x1/x qui s'annule en 1.
Etudier son sens de variation puis son signe"

J'ai réussi presque toutes les questions sauf la 2 du B. Pouvez vous m'aider ? Merci d'avance