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Niveau quatrième
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DM - Puissances - plus proche de 1

Posté par
Tim17
16-02-20 à 14:28

Bonjour,
Je n'ai pas vu ce type d'exercice en parcourant les discussions, j'espère ne pas faire doublon.

Énoncé :
"On considère les nombres :
x=(1+10^2007)/10^2007
y=10^2007/(1+10^2007)
Quel est de x ou de y, le nombre le plus près de 1 ?"

Pouvez-vous me dire si ma réflexion ci-dessous est correcte ou si une autre approche serait plus efficace ?
D'autant plus que je trouve la réflexion poussée pour un exercice de 4ème...

Ma réflexion :
L'idée est d'écrire x=1 +/- a et y=1 +/- b pour comparer l'écart à 1 de a et b :

J'étudie préalablement avec 10^2 et 10^3, ce qui permet d'extrapoler pour 10^2007.

Avec 10^2 :

x=(1 + 10^2)/10^2
x= 1/10^2 + 10^2/10^2     car (a+b)/c=a/c + b/c
x=10^-2 + 1
x=1 + 10^-2   (je change l'ordre juste pour une meilleure lecture)

y=10^2/(1+10^2)
y=100/101
y=0,99009901           pour voir l'écart à 1 je fais 1 - y = 0,0099009901  donc :
y=1 - 0,0099009901
y=1 - 9,99009901*10^-3       (on pourrait également aller plus vite en remarquant que y=1/x)

Or 9,99009901*10^-3  <  10^-2    (ordre de grandeur en 10^-3 < ordre de grandeur en 10^-2)
Donc y est plus proche de 1 que x.


Idem avec 10^3 :

x = 1 + 10^-3
y=1 - 9,99000999*10^-4

Or 9,99000999*10^-4 < 10^-3   (ordre de grandeur en 10^-4 < ordre de grandeur en 10^-3)
Donc y est plus proche de 1 que x.


J'en déduis la réflexion avec 10^2007 :

x=(1+10^2007)/10^2007
x= 1/10^2007 + 10^2007/10^2007
x= 10^-2007 + 1
x= 1 + 10^-2007    (je change l'ordre juste pour une meilleure lecture)
( pour info x=1,00000...1    avec 2007 chiffres après la virgule, cela va nous aider pour calculer y)

y=10^2007/(1+10^2007)
y=1/x       (en effet on constate dans l'énoncé que y est l'inverse de x)
y= 1/1,00000...1
y=0,9999....0000....9999....  (2007 chiffres 9, 2007 chiffres 0, 2007 chiffres 9,...  ma réflexion avec 10^2 et 10^3 permet d'affirmer cela)
y=1 - 0,0000.....9999.....0000....
y=1 - 9,9999...00000...9999... *10^-2008  (idem, ma réflexion précédente permet d'affirmer cela)

Or 9,9999...00000...9999... *10^-2008  < 10^-2007   (ordre de grandeur en 10^-2008 < ordre de grandeur en 10^-2007)
Donc y est plus proche de 1 que x.


Pensez-vous que cette réflexion correspond à ce qui est attendu d'un tel énoncé ?

Merci par avance pour vos réponses.

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 16-02-20 à 14:44

Il y aurait plus simple en modifiant l'écriture des expressions de  x  et  y :
x = 1 + . . . .
y = 1 - . . . .

Posté par
Tim17
re : DM - Puissances - plus proche de 1 16-02-20 à 22:54

Merci Priam pour votre message.
Pouvez-vous me donner un peu plus d'éléments ?
Proposez-vous de modifier avec une écriture scientifique du type x=1 + a*10^b et y=1 - c*10^d  ?

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 17-02-20 à 10:49

L'expression de  x  est de la forme  (1 + a)/a avec  a = 102007 .
Ne peux-tu mettre  (1 + a)/a  sous la forme de la somme de deux fractions ?

Posté par
Tim17
re : DM - Puissances - plus proche de 1 18-02-20 à 16:31

Bonjour Priam,
La seule écriture sous la forme de 2 fractions que je trouve c'est celle que j'avais donnée :
x = (1 + a)/a = 1/a + a/a = 1 + 1/a
Soit :
x = (1 + 10^2007)/10^2007
x = 1/10^2007 + 10^2007/10^2007  
x = 1 + 10^-2007

As-tu une réponse et cherches-tu à me mettre sur une autre piste ?

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 18-02-20 à 17:06

x = 1 + 1/a , oui.
Maintenant traite  y  de manière analogue ( cf 14h44).

Posté par
Tim17
re : DM - Puissances - plus proche de 1 20-02-20 à 15:44

Bonjour,
Après deux jours de recul sur ce problème je sèche toujours.
J'ai tenté d'écrire y = 1 - ...  mais je me retrouve avec des écritures qui ne me mènent nul par.

Y a -t-il un écriture pour décomposer une fraction du type y = a/(1 + a) ?

J'ai tenté de multiplier le numérateur et dénominateur par (1 + a), par a, ou de partir du fait que y=1/x, mais rien...

Je veux bien un indice supplémentaire...

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 20-02-20 à 15:49

Ajoute  + 1 - 1  au numérateur de l'expression de  y .

Posté par
Tim17
re : DM - Puissances - plus proche de 1 22-02-20 à 10:53

Bonjour,
A nouveau merci pour ton aide et cette subtilité.

En appliquant + 1 - 1 au numérateur de l'expression de y je trouve donc :
y=(1 - 1 + 10^2007)/(1 + 10^2007)
y=(1 + 10^2007)/(1 + 10^2007) - 1/(1 + 10^2007)
y=1 -  1/(1 + 10^2007)

Là j'ai le sentiment qu'il y a moyen de montrer que 1/(1 + 10^2007) est de l'ordre de 10^-2008 et serait donc inférieur à  x=1 + 10^-2007.
Mais je ne vois pas. Est-ce bien le cas ?

Du coup pour le moment j'en viens à comparer l'écart à 1, c'est à dire  comparer 10^-2007 et 1/(1 + 10^2007).
Je suppose que 10^-2007 > 1/(1 + 10^2007), je vais vérifier si c'est vrai ou faux :

Je multiplie les deux éléments par (1 + 10^2007) ce qui ne change pas leur comparaison mais me la facilite le calcul :
Suposons donc :
10^-2007 > 1/(1 + 10^2007)
10^-2007 * (1 + 10^2007) > (1 + 10^2007)/(1 + 10^2007)
10^-2007 + 1 > 1
Ce qui est vrai puisque 1 + a > 1

J'en déduit donc donc x est plus proche de 1 que y.

Y a-t-il une autre piste ?

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 22-02-20 à 12:40

Il s'agit donc de comparer  1/102007 (pour  x )  et  1/(1 + 102007) (pour  y ).
On voit immédiatement , de ces deux expressions, quelle est la plus grande.

Posté par
Tim17
re : DM - Puissances - plus proche de 1 22-02-20 à 21:09

En effet, bien vu...

Je réécris donc la réponse complète à l'exercice :

x=(1+10^2007)/10^2007
x= 1/10^2007 + 10^2007/10^2007
x= 1 + 1/10^2007

y=10^2007/(1+10^2007)
En appliquant + 1 - 1 au numérateur de l'expression de y on a :
y=(1 - 1 + 10^2007)/(1 + 10^2007)
y=(1 + 10^2007)/(1 + 10^2007) - 1/(1 + 10^2007)
y=1 -  1/(1 + 10^2007)

Il s'agit donc de comparer  1/10^2007 pour x  et 1/(1 + 10^2007) pour  y, afin d'en déduire l'écart de x et y par rapport à 1 :

10^2007 < 1 + 10^2007
Donc
1/10^2007 > 1/(1 + 10^2007)
(mais effectivement on voit immédiatement de ces deux expressions quelle est la plus grande)

Donc y est plus proche de 1 que x.
(et non pas l'inverse, c'était une erreur dans mon précédent message)

Merci beaucoup pour ton accompagnement sur cet exercice !

Posté par
Priam
re : DM - Puissances - plus proche de 1 22-02-20 à 22:17

C'est parfait.



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